从运算、滤波到传感器预处理
每个箭头，都要落到方程里

先确定学成什么样：四类题，四个动作

这一节不需要把运放内部的差分对、电流镜重新展开。把第五章的模型当成可靠工具，注意它的使用条件，再把外部电阻、电容、半导体器件的关系写清楚。

统一记号：P 为同相输入端，N 为反相输入端；u_P、u_N 都是对地电位。图中的电流箭头是本题的参考方向，电流算成负数表示实际方向相反。对数电路里另有单向导通条件，会单独说明。

6.1.1 概述：先证明能用虚短，再用虚断列 KCL

教材先说“工作在线性区”，这里指运放本身没有饱和。它不保证整台电路的输入、输出一定呈线性关系；反馈支路放入二极管后，完全可以得到对数关系。别因为看见对数、指数，就误判运放必须饱和。

本节以稳定的深度电压负反馈为基础。只有输出还有能力调节输入差值时，才可用 u_N≈u_P；理想输入电流近似为零，则可用 i_N≈i_P≈0。输出已到电源限制、反馈断开或反馈极性接错时，要重新判断。

固定解题顺序：找反馈并判断正负 → 求 P 点电位 → 令 N 点电位与之相等 → 在 N 点列 KCL → 解输出 → 检查输出与器件的工作范围。多级电路则逐级执行。

“虚断”的用途是删掉进入运放内部的未知电流；“虚短”的用途是少一个未知节点电压。课本那些电流箭头的用途，也就是帮助你正确列 KCL 和欧姆定律。没有必要再背“电流依次经过哪十段导线”。

6.1.2 反相比例：负号从电阻两端的电位差得来

P 点通过 R′ 接地。理想运放的 i_P=0，所以 R′ 没有压降，u_P=0；再由虚短得 u_N=0。现在才可以称 N 为虚地。

图中 i_R 从输入流向 N，i_f 从 N 流向输出。N 不向运放内部供电流，因此：

正输入使电流流入 N。为了把这股电流经 R_f 拉走，输出必须低于 N，也就是为负。这就是负号的实际意义。负号不是因为 R_f 中“电流本来一定向左”。箭头可以重选，但方程必须跟着重写。

R=10 kΩ、R_f=100 kΩ、u_i=0.2 V 时，i_R=20 μA，u_o=−2 V。把结果代回反馈支路：(0−(−2))/100 kΩ=20 μA，电流对得上。

输入电阻为 R。信号源确实通过 R 供电流，R_in=u_i/i_R=R；运放输入脚不取流，不等于整台反相电路不取流。理想输出电阻为零，负载不改变运算关系；实际仍受输出电流、摆幅和功耗限制。

补偿电阻 R′：理想题里不改增益，实际为什么还要放

教材令 R′=R∥R_f，是为了让两个输入端向外看到的直流等效电阻尽量相同。实际双极型输入运放的两端有输入偏置电流；若两股电流接近，对称的外接电阻有助于抵消由它们造成的输出偏移。

求反相端外接等效电阻时，独立输入电压源置零，输出在这一近似分析中视为低阻电位点，所以得到 R∥R_f。如果输入源还串着内阻 R_s，对应输入支路要算成 R+R_s，不能仍只写 R。

做题边界：题设理想运放、只问运算关系时，先用 i_P=0 得到 R′ 压降为零即可。题目问偏置补偿、失调或实物设计时，再讨论它的取值。它不能自动消除输入失调电压，也不能保证两输入电流完全相同。

T 形反馈：多一个节点，就多列一次 KCL

想得到 −50 倍且输入电阻 100 kΩ，普通反相电路需要 5 MΩ 的反馈电阻。教材用 T 网络，是为了用较小阻值实现很大的等效反馈跨阻；它没有让输入端突然变成无限大，输入电阻仍为 R₁。

按教材图 6.1.2 编号：R₂ 在 N、M 之间，R₄ 在 M、输出之间，R₃ 从 M 接地。先利用 N 为虚地：

M 不是虚地，更不能把 R₂、R₄ 直接串联。M 点还有 R₃ 支路，要列：

这与教材写成 −[(R₂+R₄)/R₁][1+(R₂∥R₄)/R₃] 相同。代数形式不必背两遍；会从 N、M 两点推出来，换一张图仍然能做。

取 R₁=R₂=R₄=100 kΩ，则增益为 −[2+100 kΩ/R₃]。要 −50 倍，R₃=100/48 kΩ≈2.083 kΩ。R₃ 开路时，额外项消失，增益变成 −2。

课本补充“要更大的开环增益”，是因为 T 网络使反馈系数减小，深度反馈条件更难满足。这段的做题用途是：等效电阻做大了，并不意味着精度与带宽也白拿。偏置补偿电阻可按 R₅=R₁∥[R₂+(R₃∥R₄)] 选取。

例 6.1.1：图换了方向，T 网络仍然是那三个电阻

本图电阻编号与上一图不同：N、M 之间为 R₂，M、输出之间为 R₃，M、地之间为 R₄。不要把前一张图的 R₃ 结论机械搬来。输入从反相端进入，P 接地，仍按两个节点求解。

题给 R₂≫R₄，所以 R₃/R₂ 相对 R₃/R₄ 很小；再用 R₁=R₂：

R₄ 开路后，R₂、R₃ 才真的串联成为反馈电阻，得到：

这题的考点：辨认节点和支路，先列准确式，再使用“远大于”的近似。电路的外形不值得背；故障后重新看拓扑，才值得练。

同相比例：N 点等于输入，通常不等于零

同相端接输入，理想输入电流为零，所以串联补偿电阻上没有压降，u_P=u_i。虚短给的是 u_N=u_i，不是 u_N=0。N 点 KCL：

正电阻构成的这一基本电路，增益不小于 1；要同相衰减，可在前面另加分压并考虑加载，不能令某只普通电阻为负来凑公式。R=10 kΩ、R_f=90 kΩ，输入 0.2 V，输出为 2 V。

整个输入端在理想模型中不取流，所以输入电阻趋于无穷大。这正是电压串联反馈与前面并联反馈的区别。但两个输入脚都处于 u_i 附近，因此存在共模输入：还需满足实际运放的输入共模范围，并留意共模抑制比。

电压跟随器：1 倍增益的用途是隔开负载

输出直接接回 N，P 接输入。于是 u_o=u_N=u_P=u_i。反馈线上即使串电阻，理想输入电流为零时也没有压降，仍是 1 倍。

它的作用是从信号源取很少电流，却由供电端给后级提供负载电流。一个内阻大的传感器直接带低阻负载会使信号下降；中间加跟随器，可减小这种加载。

这段与做题的关系有两条：求多级关系时，跟随级的系数为 1；问为什么值得加一级时，回答输入阻抗高、输出阻抗低和缓冲作用。实际跟随器仍要满足单位增益稳定、输出电流与摆幅要求，不能仅凭“反馈最强”断言任何运放都适用。

例 6.1.2：两级分别求，再检查每一级有没有饱和

第一级同相比例，R₁=10 kΩ、R₂=100 kΩ；第二级反相比例，输入电阻 R₄=100 kΩ，反馈电阻 R₅ 待定。先给中间输出起名 u_o1：

为什么不再像第二章那样先算“后级输入电阻并上前级负载”？因为这里前级是理想闭环运放，输出电阻为零；后级取流不改变其输出电压。实际电路仍要检查取流是否超过前级能力。

输入端与原接地端互换：第一级改为输入经 R₁ 送入 N，P 经补偿电阻接地。第一级变成 −100/10=−10，第二级仍为 −5，因此总关系为 u_o=50u_i。这是换外部信号连接，不是交换运放的“＋”“−”脚。

故障题：u_i=10 mV 时，正常应有 u_o1=0.11 V、u_o=−0.55 V。测得 −14 V，说明所用线性关系已失效。教材列出的可能原因有反馈电阻 R₂ 或 R₅ 断开、输入极性接反造成正反馈。它们是排查方向，单凭这一电压不能唯一锁定某只元件；实际还应检查供电、接地和连线。

题给两级最大输出幅值都为 14 V：第一级要求 |u_i|≤14/11，第二级要求 |u_i|≤14/55。因此总电路允许的输入峰值约为 0.255 V。多级题应逐级验摆幅，不能只看最终结果中的正负号。

6.1.3 反相求和：三路电流相加，再从反馈支路流走

P 接地，所以 N 为虚地。三路信号各经自己的电阻把电流送到同一节点；运放内部不取流，全部通过 R_f：

R₁=5 kΩ、R₂=20 kΩ、R₃=50 kΩ、R_f=100 kΩ，就有 u_o=−20u_i1−5u_i2−2u_i3。所谓“加权”，就是每路系数由自己的电阻决定；电阻越小，同一输入产生的电流越大，权重越大。

叠加法：只保留一路输入，其他理想电压源置零接地，电阻仍留着。那些电阻两端一边真地、一边虚地，所以电流为零；不是把整个支路凭空删除。输入不是理想电压源时，其内阻要保留。

每路输入电阻分别为 R₁、R₂、R₃。偏置补偿电阻可取 R′=R₁∥R₂∥R₃∥R_f，它不改理想求和关系。

同相求和：先算加权平均，再乘同相增益

这次三路电压通过电阻汇合到 P。P 不是虚地，几个输入也不是直接被短接在一起。虽然运放不取流，输入源之间、输入源到 R₄ 之间仍可有电流。

把 u_P 的项合并，得到最省事的通式：

教材再令 R_N=R∥R_f，可将系数改写为 R_fR_P/R_N。只有 R_P=R_N 时，才能简化成反相求和公式去掉负号。这个等效电阻相等的条件不是摆设。

例如两路输入都经 20 kΩ 汇合到 P、不接下拉电阻，则 u_P=(u_i1+u_i2)/2。若同相级 R=10 kΩ、R_f=10 kΩ，增益 2，最终才得到 u_o=u_i1+u_i2。前面先平均，后面再放大，不是两个电压在 P 直接相加。

一般加减运算：先写出不依赖电阻匹配的式子

两路反相输入记为 u_i1、u_i2，两路同相输入记为 u_i3、u_i4，同相端另有 R₅ 下拉。先在 P 点求：

N 点电位等于 u_P。把每一项写成“起点电位减终点电位”：

这是通式，不要求对称。若 R_P=R₁∥R₂∥R_f，才能化成教材的简洁形式：

需要背到什么程度：记住先求 P、再列 N，且反相输入项为负。同相侧的系数还受全部网络影响，不能一看“＋”端就随手写 R_f/R₃。

差分比例：两组电阻比相等，才会只剩两个输入的差

按本图编号，先用 R₃、R₄ 分压求 P，再用含 u_P 的反相比例关系：

当 R₂/R₁=R₄/R₃=k，两项系数相等，得到：

教材图 6.1.12 采用两只 R、两只 R_f，就是这个比值匹配的特例。不是四只电阻全部必须相等，也不是任意四只电阻都能直接套“差值乘倍数”。

例如四只电阻均为 10 kΩ，u_i1=2.0 V、u_i2=2.1 V，P、N 均为 1.05 V，输出为 0.1 V。这个例子会同时检查两件事：你是否知道 N 非虚地，是否能把很大的共同电平与很小的差值区分开。

理想匹配时两个输入共同增加同一个量，输出不变；电阻比失配会把共同变化也送进输出。实际差分精度既受运放参数影响，也受电阻比匹配影响，不能只换一颗更贵的运放就认为全部解决。

高输入电阻差分：为什么教材又加了一只运放

单运放差分电路会向两个信号源取电流。教材图 6.1.13 把两个信号都接到运放的同相输入端，利用 i_P≈0 提高输入电阻。下面按图中编号逐级算：

若 R₁=R_f2、R₃=R_f1，负项系数等于正项系数：

这里加一级的原因很具体：既要差分运算，又要两个输入都少取电流。基础题会逐级列关系、能指出两个输入都接“＋”端，就掌握了主线。更复杂的仪表放大器会在 6.4 再接着讲。

例 6.1.3：设计 10u₁−5u₂−4u₃，不能只配三个倒数

目标 u_o=10u_i1−5u_i2−4u_i3，先把正项接 P，两个负项经电阻接 N。选 R_f=100 kΩ，则两路负项要求：

假设 P 只经 R₁ 接 u_i1，不另接下拉，理想输入电流为零，所以 u_P=u_i1。代入通式，P 点的系数正好为：

所以正项自动满足，根本不需要再靠 R₁ 分压。教材选 R₁=10 kΩ，是因为 20 kΩ∥25 kΩ∥100 kΩ=10 kΩ，可同时满足外接电阻平衡。理想模型里，只要 P 不再接其他支路，改变这个串联 R₁ 并不会改变正项系数。

教材先设一个 P 到地的 R₄，再算出它应为无穷大，意思是这条支路不需要接。“无穷大电阻”在这里就是开路，不能换成零欧导线。

6.1.4 积分：输出斜率由输入决定，输出值还由过去决定

把反相电路的反馈电阻换成电容。P 接地、N 虚地，输入电阻的电流 i_R=u_i/R 全部流过反馈电容。按图中电流从 N 流向输出，电容电压取 u_N−u_o：

先记斜率关系：正输入让输出向下走，负输入让输出向上走，输入为零时理想输出保持原值。输出取决于此前积累的电荷，不只取决于这一瞬间的输入。

u_o(t₀) 必须带上。写不定积分时，积分常数藏在“+C”里；做波形题时，它是电容原来储存的状态，不能随手设零。若只给输出初值，就直接用；若给电容初始电压，先按照所标正负方向换算成输出初值。

R=10 kΩ、C=0.1 μF，RC=1 ms。输入恒为 +1 V 时，斜率为 −1 V/ms；初始输出 2 V，经过 3 ms 得到 −1 V。若输出只能到 ±14 V，从 2 V 往下走到 −14 V 只需 16 ms，之后理想积分公式就不能继续使用。

单位检查：Ω·F=s，u_i/(RC) 的单位为 V/s。时间若写成 ms，必须同时换算；积分题最常见的千倍错误就是漏了这个换算。

积分波形：先标拐点数值，再把相邻点连起来

自设练习：输入为 ±1 V、周期 4 ms 的方波，RC=1 ms，从正半周开始，输出初值为 0。0—2 ms 的斜率为 −1 V/ms，所以降到 −2 V；2—4 ms 的斜率为 +1 V/ms，所以升回 0。下一周期重复。

这是一条在 −2 V 与 0 V 之间的三角波，不会因为输入正负对称就自动以零为中心。若把输出初值改成 +1 V，整条曲线才在 −1 V 与 +1 V 之间。两条输出的斜率、峰峰值完全相同，只相差常数。

“方波的幅值”通常指从零到峰的 U_im，不是峰峰值。题给峰峰值时先除以 2，避免把上式再错一倍。

若输入为 U_imsinωt，从 t=0 开始、u_o(0)=0，则：

图中取输入幅值 1 V、周期 2 ms、RC=1 ms，图例记 a=U_im/(ωRC)=1/π V。常见的“输出为正余弦”描述的是去掉直流常数后的周期分量，或预先选好初值的情况。你在题目里若给了零初值，却直接只写 cosωt，t=0 时就对不上。对这一反相积分电路，周期分量相对正弦输入超前 90°；先看实际函数，比死背积分必滞后 90°可靠。

实用积分器：电容并电阻，是给直流留下反馈

纯电容反馈在直流时开路。很小的失调或输入直流偏移，也会长期积累，把输出推到电源限制。教材在 C 上并联 R_f，是限制低频增益并建立直流负反馈，不是给电容“放一个没用的负载”。

低频时它是有限增益的反相放大器；当 ωR_fC≫1 时，才近似 −1/(sRC)，表现为积分。频率再高，还受运放带宽等条件限制，不能一直把理想积分延伸下去。

输入为零时，输出不再永远记住初值，而以时间常数 R_fC 逐渐回到零。知道这个物理区别，就能回答“为什么称为有泄漏的积分器”和“为什么它不能在所有频率做精确积分”。基础题先会理想积分，实用题再检查所讨论频段。

基本微分：输出看变化率，平坦输入对应零输出

把输入电阻与反馈电容交换位置：输入经 C 到 N，反馈用 R。因为 N 为虚地，输入电容电压等于 u_i：

输入平坦，变化率为零，输出为零；输入匀速升高，输出为负常量；输入匀速降低，输出为正常量。所以三角波经这个电路可变成矩形波，具体正负由斜率决定。

理想阶跃的变化率是冲激，不能要求普通运放产生无限高、无限窄的输出。实物中的上升沿有限，电路也有带宽和限幅，得到的是有限脉冲。正跳变对应负脉冲，负跳变对应正脉冲；别只背“方波变尖峰”却漏掉极性。

正弦输入时 H(jω)=−jωRC，输出幅值随频率增加，高频噪声也容易被放大。它与积分器的频率趋势相反，这就是教材紧接着讨论实用微分器的原因。

实用微分：限制高频增益，还要避免饱和与失稳

教材图 6.1.19 在输入电容前串小电阻 R₁，在反馈 R 上并小电容 C₁，并用两只反向串联的稳压管限制输出幅值。三处作用分别是限制输入电流、限制高频增益并改善稳定性、限制大信号幅值。

在稳压限幅支路尚未导通的线性范围内，先算两个阻抗：

只有 ωR₁C≪1、ωRC₁≪1，同时运放有足够环路增益时，才近似基本微分式。更高频率下增益受到限制。电路比理想微分器好用，是因为它主动舍弃了不需要的高频微分能力。

图用输入串联 R₁、C₁ 暂略的简化模型，取 R/R₁=2、R₁C=0.18 ms，输入在 t=0 前已稳定于 −1 V，随后在 ±1 V 之间切换。图中有限跳变后的指数脉冲用于理解正负方向与衰减；接入 C₁ 后，脉冲上升和下降形状也会改变。

“阻塞”这一段的用途是提醒：运放严重过载后不一定立即恢复，故大脉冲可能破坏后续正常运算。基础计算不用推内部载流子恢复过程，但应知道限幅是为了避免过载，并与频率补偿的用途区分开。加了这些元件仍须检查实际器件的稳定性，不能保证随便选容量都有效。

逆函数型微分：反馈通路里有积分器，接“＋”也能是负反馈

教材图 6.1.21 的 A₂ 是反相积分器，输入为整个电路的输出 u_o，自身输出记为 u_o2。A₁ 的同相求和节点通过 R₁ 接 u_i，通过 R₂ 接 u_o2；反相端接地。

先判总体极性：u_o 出现正向扰动，经反相积分通路返回负向变化，使 A₁ 同相端下降，抑制 u_o 的原变化。这里必须结合整个通路判断，不能看到 A₁ 返回“＋”端就直接改接。

在理想负反馈工作范围，A₁ 两输入端均近似为零；求和节点 KCL 和 A₂ 的积分关系分别为：

把前一关系求导代入，得到同相微分：

这节的目的不是多背一种图，而是建立“把原函数放进反馈，可以得到逆函数”的方法。以后用平方反馈做开方、用乘法反馈做除法，都走这条路线。理想微分关系仍不可能在无穷频带内实现，实际设计必须检查动态稳定性与带宽。

例 6.1.4：看见反馈电容，不一定是反相积分

图中输入经 R 接 P，P 到地有 C₂；N 经另一个相同的 R 接地，输出经 C₁ 返回 N。题给 C₁=C₂=C。P 不接地，所以不能把两端一律写成虚地。

先令 u_N=u_P=v。N 点和 P 点分别列：

第一式整理为 C·du_o/dt=C·dv/dt+v/R，第二式恰好给出右边等于 u_i/R，于是：

结果是同相积分。它没有推翻普通积分器的负号，只是电路连接不同。本题必须掌握的是两个节点分别列式、利用虚短消元；只背“反馈 C 就负积分”，这一题必错。

若 C₁≠C₂，上述中间项不能恰好消掉，还会留下与 v 有关的项。因此题目特别给电容相等，是关键条件，不能视为无用数字。

例 6.1.5：PID 用阻抗相除，比追三段电流更清楚

输入支路为 R₁ 与 C₁ 并联，反馈支路为 R₂ 与 C₂ 串联。P 接地。零初始状态下，用 H(s)=−Z_f/Z_in：

换回时域，各项的运算意义一眼可见：

第一项是比例 P，第二项是微分 D，第三项是积分 I。输出还有由电容初态决定的项；若题设不是零初态，要在微分方程或定积分表达式中补上，不能把阻抗法的零状态结果当成任意初值的全响应。

R₂ 取零，即把它短接，微分项消失，得到 PI。要得到 PD，则应把反馈电容 C₂短接，保留 R₂ 作反馈，此时 H(s)=−R₂/R₁−sR₂C₁。

教材文字需注意：所提供版本在这里写“C₂=0”得到 PD。按图中电容值的字面含义，C=0 表示开路而非短路，会切断串联反馈；不能这样代。正确的电路操作是旁路 C₂，或在交流阻抗意义上令它趋于零。这个区别也能防止你把“某个阻抗为零”和“电容数值为零”混为一谈。

6.1.5 对数：这一回不能把二极管固定成 0.7 V

输入经 R 到 N，二极管从 N 指向输出，P 接地。正输入产生的电流必须经二极管流走，所以它应正向导通，输出为负。教材利用的恰好是二极管电流随端电压变化的规律；若换成固定 0.7 V，就把对数功能删掉了。

这里先取教材的理想因子近似为 1。保留“−1”，可得 u_o=−U_Tln[1+u_i/(I_SR)]；在正向电流远大于 I_S 的范围，才简化为：

对数里面必须无量纲。I_SR 的单位为 V，正好与输入相除；不能直接写“ln 2 V”。取 U_T=26 mV，同温度下输入增大 10 倍，输出变化为 −U_Tln10≈−59.9 mV。跨度被压缩，这正是对数测量和动态范围压缩的用途。

这张接法要求输入正向，且电流处于适用范围。负输入要求相反方向的反馈电流，原二极管无法按正向模型提供，运放可能饱和；绝不能把负数硬塞进实数对数式。很小电流下漏电、复合会影响精度，大电流下串联电阻会破坏简单指数关系。

晶体管对数：只留下“电流的对数决定发射结压降”

图中 NPN 基极接地，集电极接 N，发射极接输出。正输入使集电极电流从 N 流入管子，输出降到负电位，让发射结正向导通。于是 u_BE=0−u_o=−u_o。

教材用晶体管扩大较理想的指数电流范围。这里没有使用 i_C=βi_B 来算运算关系；核心是集电极电流与 u_BE 的指数关系。你原来学到的三极管并没有失效，只是现在选用了另一条更适合的器件方程。

为什么要讲温度：U_T 随绝对温度变，I_S 对温度也很敏感；同一个输入电流在不同温度下会得到不同输出。考试若问怎样改善，用匹配管和参考电流做比值，继续看下一段；不必先背某个老型号芯片的全部引脚。

集成对数与指数：匹配管消掉 Iₛ，但不会自动消掉 Uₜ

教材图 6.1.26 的关键不是“管子特别多”，而是两只特性相同、温度接近的晶体管：一只流过被测电流 I₁=u_i/R₃，另一只流过参考电流 I_R。比较它们的发射结压降：

A₁ 负责让输入电流转成第一只管的压降；A₂ 把压降差作同相比例放大。按教材编号：

I_S 消掉，是因为两管同参且取了比值；U_T 仍在。教材令 R₅ 具有正温度系数，温度升高时增益 1+R₂/R₅ 降低，以补偿 U_T 上升。这是近似补偿目标，并不是任意热敏电阻接上就精确无温漂。

图 6.1.28 的集成指数电路利用相同的电流比关系反过来做。忽略基极电流造成的输入电阻压降，T₁ 基极约为 u_i、T₂ 基极接地、两发射极共点，且 I_C1≈I_REF：

这张集成图的指数里有负号，来自哪只管固定参考电流、哪只管输出电流；不能只因为名称叫“指数”就把所有电路都写成同一个正指数式。掌握边界：会用两条指数电流相除，解释匹配和温度补偿；整套具体电路推导按老师要求加深。

基本指数：输入决定发射结电压，反馈电阻把电流变成输出

按教材图 6.1.27 重绘，NPN 的基极、集电极共同接输入，发射极接 N。这是一只二极管接法的晶体管，不是把普通共射输出集电极随便接进虚地。因为 u_N≈0，所以 u_BE≈u_i。

这里沿用 α≈1、正向电流足够大等近似；若精确使用二极管连接模型，还需保留与电流增益、反向饱和电流有关的系数。基础运算题按教材给定模型处理。

输入改变量约 U_Tln2≈18 mV，就可使指数电流约增大一倍。因此它的适用输入电压范围很窄。不能拿“输入 1 V”随手代入指数模型后，要求普通运放输出天文数字；管子电流、输入源供流、反馈电阻和输出摆幅都会先限制它。

这一接法的输入源会给晶体管供电流，整台指数电路输入阻抗不能因为“运放虚断”就一概写成无穷大。公式能否用，还要检查发射结导通方向、指数区和运放输出范围。

6.1.6 对数加减再取指数：把乘除法拆成已会的模块

教材图 6.1.30 是两路对数 → 系数为 −1 的求和 → 指数。设三只晶体管参数相同、温度相同，相关电阻按教材均取 R：

乘积的单位是 V²，除以 I_SR 这个电压尺度，输出才仍为 V。由此也能看出它并非自动得到“系数为 1”的乘法器，更不是任意幅值、任意极性的四象限乘法器。

想做除法，把中间加法改成适当顺序的减法。例如取 u_o3=u_o2−u_o1，则 u_o3=U_Tln(u_i1/u_i2)，经同一指数级得到 u_o≈−I_SR·u_i1/u_i2。减法顺序换掉，分子分母就会对调。

需要会到哪里：解释 ln(ab)=ln a+ln b、ln(a/b)=ln a−ln b，按每级符号推到底，并说明对数输入的极性和分母非零条件。这个模拟实现还受温度、失配与动态范围限制；下一节 6.2 会讲更直接的模拟乘法器。

6.1.7 有限开环增益：虚短不是精确到无限位

基础题默认理想，不用每次附一页误差推导。教材加入这一节，是让你知道电阻比决定增益有前提，以及如何在题目明确给非理想参数时改写方程。

先只考虑有限开环差模增益 A，输入电阻仍无穷大。P 接地，u_o=A(0−u_N)，所以 u_N=−u_o/A，不再精确为零。把它代回反相比例的原始 KCL：

令 k=R_f/R，理想增益为 −k。用增益的相对偏差表示：

k=10、A=2×10⁵ 时，增益约为 −9.99945，幅值相对偏小约 0.0055%。分子出现 1+k，是这张反相电路的噪声增益；不是只用信号增益 k 除 A。

再考虑有限差模输入电阻 r_id，并满足教材采用的 r_id≫R′，令 R_N=R∥R_f∥(r_id+R′)，可用教材的近似式：

反相节点的等效电路图以 P 电位近似为零画出 r_id+R′ 支路；若这项近似不满足，要把 P、N 两节点一起列式。考试最有价值的做法是从原始 KCL 加入非理想项，而不是再背一个与原电路脱节的长公式。

同相电路的共模误差：两脚一起抬高，实际输出也会受影响

同相比例中 u_P=u_i，u_N≈u_i，所以即使差模电压很小，两输入脚仍一起处于非零电位。共模抑制比有限，就会多出一项：

令反馈分压 F=R/(R+R_f)，u_N=Fu_o；再令 q=A_c/A_d，保留符号。直接代入可得：

当两种误差都很小时，一阶展开得到 ε≈q−1/(A_dF)。教材按 A_c 为相应正号、K_CMR=A_d/A_c 的情形计算，R=10 kΩ、R_f=100 kΩ、A_d=2×10⁵、K_CMR=10⁴：

若数据只给共模抑制比的幅值，不能保证误差的正负或两项刚好抵消，实际取最坏情况评估。K_CMR 若以 dB 给出，应先换成线性比值 10^KdB/20。

最低掌握要求：知道同相比例为什么尤其要关注共模抑制比；会看题目给的是比值还是 dB。上面的精确代数式用于解释来源，不要求在没有非理想参数的基础题里重复写。

积分器的失调：输入为零，输出也可能慢慢跑到电源边上

把误差等效成输入电压 U_err 与流入求和点的残余电流 I_err，参考方向按本图定义。即使想测的输入为零，误差仍给反馈电容充电：

不同资料对失调电压、失调电流的方向定义可能不同，符号要依模型来；这里重点是误差电流也会被积分。例如 R=100 kΩ、C=0.1 μF、U_err=1 mV、I_err=10 nA，同向贡献时总误差电流为 20 nA，漂移速度达 −0.2 V/s。

温度变化会使这些误差继续改变。若在一段时间内把信号输入与误差近似为常量，教材式 6.1.39 对应的误差幅度关系为：

小信号越小，同样误差所占比例越大；大电阻也会把电流误差换成更大的等效电压。这说明积分精度不仅看电容准不准，还要看失调、漏电、温漂和电路板清洁等。基础题会解释“为什么纯积分器会漂移、为什么加并联反馈电阻”即可；精度设计题才深入误差预算。

相对误差以理想输出或理想输入为分母；它接近零时，相对误差可能失去参考意义，直接报告输出偏移或漂移速度更清楚。

本节六道思考题：用它们检查有没有真的接起来

这一部分的过关线：先会三张图，再补其他图

第一轮优先练反相比例、加减运算、积分器。每张图都要能不看答案完成“判负反馈 → P 点 → N 点 KCL → 输出 → 条件检查”。它们过关后，T 网络只是多一个节点，微分只是换电容位置，对数与指数只是换器件方程。

以上是 6.1 的过关检查。下面进入 6.2 模拟乘法器，继续处理平方、除法与开方；6.3 的有源滤波和后续章末习题将接着补充。

6.2 模拟乘法器：这一节的题，抓住“乘积关系＋负反馈”

6.1 的加减法主要靠电阻与运放。两个电压相乘时，关系变成非线性，不能再把整个电路当作固定倍数的放大器。这一节先解释专门的模拟乘法器如何产生乘积，再把它放进运放的反馈通道，实现除法、平方根和立方根。

下面按教材 6.2.1—6.2.3 走，完整拆解例 6.2.1 和三道思考题，再用辅导书例 6.3.5、6.3.6 检查你是否真会。这里辅导书的“6.3”是它自己的章节编号，不代表现在已经讲到教材的有源滤波。

读图约定：实心圆点表示导线相连，跨线拱桥表示不相接。所有运放默认有合适的正负电源；图中省略供电线。乘法器方块中的 k 已包含它的定标与输出符号。

6.2.1 理想模型：乘积系数 k 不能省，单位也不能省

这个方块有两个输入端 X、Y 和一个输出端。理想关系是：

为什么要乘 k？两个电压相乘的单位是 V²，而输出仍然是电压，必须有一个 V⁻¹ 的系数负责定标。教材常用 k=±0.1 V⁻¹。例如 k=0.1 V⁻¹、u_X=2 V、u_Y=−3 V，输出是 −0.6 V；若 k 改成 −0.1 V⁻¹，输出改为 +0.6 V。

乘法器的两个输入不要求统计独立。它们可以分别给定，也可以接到同一个信号上。后面的平方电路就是把 X、Y 接在一起。教材先用“两路输入”描述一般情况，不妨碍它们在具体接法中相关。

理想模型还假设：两个输入端不取电流、输出电阻为零；k 为常数；某一路输入为零时，输出严格为零，没有额外的失调和噪声。这些条件是为了让你先只处理乘积关系。实际器件有输入电压范围、输出摆幅和频率限制，给定参数时必须另外检查。

一、二、四象限：看两个输入能取什么符号

把 u_X 当横坐标、u_Y 当纵坐标，两个输入的符号组合构成四个象限。四象限乘法器允许两路输入分别取正、负；二象限乘法器通常只允许其中一路改变符号，另一路限制在某一极性；一象限则两路都有限定的极性。

不要用“输出只有正负两种”来判断象限。输出的符号还要乘上 k 的符号。同一个正输出，可能来自两个正输入，也可能来自两个负输入。只看输出，分不清它们属于哪个输入象限。

当题目说“用四象限乘法器搭除法器”，也不意味着最后的除法电路一定能接受任意正负分母。乘法器自身的输入能力和整个反馈电路能否正常工作，是两个分别需要检查的条件。

6.2.2 先回到差分对：那些电流箭头，是为了算“分到哪边”

先看两只匹配的 NPN 管和固定尾电流 I₀。忽略基极电流、取 α≈1，两个发射极电流之和近似固定。差模输入改变的不是凭空产生的新电流，而是两支路分到的比例。输入为零时，两边各约 I₀/2。

第一条来自两个发射极相连；第二条来自晶体管的指数关系；第三条是公共发射极节点的 KCL。解这两路电流，不需要猜箭头：

tanh 是双曲正切。在这里你先把它理解为“一条过原点、中央近似直线、两头逐渐压平的曲线”。因为总电流只有 I₀，不可能一边无限增加而另一边流出无限大的负电流。

左支路电流增大，会让左负载电阻压降增大，所以左集电极电位下降。右边反过来。按图中 u_o=v_C1−v_C2 的定义：

电流箭头到底有什么用：先规定 i_C1、i_C2 的参考方向，再把它们放进尾节点的和、两支路的差、负载电阻的压降。最后的负号来自“电流越大，集电极电位越低”。看懂这三件事，箭头就完成任务，不必把每一根导线都背成故事。

小信号近似：不是“低于 52 mV 就完全线性”

当 |u_X|≪2U_T 时，tanh z≈z，刚才的关系变成：

室温下 U_T≈26 mV，所以 2U_T≈52 mV。“远小于”很重要：u_X=5 mV 时，双曲正切结果相对这条近似直线约低 0.31%；20 mV 时约低 4.65%；52 mV 时约低 23.84%。这不是到了 52 mV 突然坏掉，而是误差逐渐增大。

公式里 I₀ 与 u_X 已经相乘了。下一步只要让 I₀ 由第二个输入控制，就能形成两个输入的乘积。这就是课本在乘法器之前重新讲一遍差分对的原因。

对照教材时留意一个系数：本书第 278 页式（6.2.5）的中间一项印成 −I₀R_cu_X/U_T。按前面的电流差展开、每管静态电流 I₀/2，以及同一式末项 −g_mR_cu_X，这里分母应为 2U_T；下一式（6.2.6）也采用 2U_T。做题用相互一致的这一组定义，不要因此把尾电流和每管电流混起来。

要不要背 tanh 的推导：给内部电路、要求证明乘法原理时需要会；给现成乘法器符号、直接求外接运算关系时，一般直接用 u_o=ku_Xu_Y。这时你主要要记住：内部的小信号条件说明近似的来源，不能无条件推广到大输入。

让尾电流随 Y 改变：先得到一个二象限乘法器

用 T₃ 与 R_e 构成受 u_Y 控制的电流源。若 T₃ 在放大区，忽略基极电流，发射极电位约为 u_Y−U_BE3：

若还满足 u_Y≫U_BE3，可以进一步近似：

这一步并不精确消掉 U_BE3。u_Y=1 V、U_BE3≈0.7 V 时，实际控制量约为 0.3 V，显然不能把它当成 1 V；即便 u_Y=5 V，这项偏差也还有约 14%。教材用这个简单电路说明原理，后面还要解决精度、温度与象限问题。

u_X 可以正负变化，u_Y 却必须让尾电流保持合适的正值，所以这个基本结构只能覆盖两个输入象限。并且 k 中含 U_T，温度改变会影响系数。

偏置别画错：上层的 X+、X− 是一对差分输入，还需要合适的直流共模电位，让三只管都有工作余量。不能在 T₃ 发射极为正时，又随手把上层一只基极接地，然后仍认定所有管都在放大区。本图着重画控制关系，实际供电、共模偏置另按工作区设计。

双平衡结构：为什么多了四只管，就能做四象限乘法

整张图先按功能读。下层 T₅、T₆ 用 u_Y 把固定总电流 I 分成 i₅、i₆。上面两组差分对分别接收这两股电流，又由同一个 u_X 控制分配；第二组 X 输入的极性反接。图中同名 X 端代表同一电位，供电与共模偏置按放大区条件设置。

为什么要交叉接集电极？左负载流过 i₁+i₃，右负载流过 i₂+i₄。两边总电流之差就变为：

这就是两个控制量相乘的地方。两路内部差模输入都足够小时：

u_Y 变成负值时，只是下层两股电流的大小关系对调，电流本身不必变成负值；u_X 也能正负变化，所以能覆盖四象限。交换差分输出的正负端，会使 k 的符号反过来。

学到什么程度就够：你至少要能说出“下层分一次、上层再分一次、交叉组合得到电流差的乘积”，并沿着上面的三行式子解释箭头。题目若直接给理想乘法器，就不需要每次重推六只管。真实集成芯片还会加偏置与线性化，不能据此断言所有成品外部输入都只能是几毫伏。

差分输出转单端：别让末级又多出一个负号

前面把 u_o 定义成左端电位减右端电位。教材接着用运放把差分量变成对地输出。这个运放也必须按它实际接线计算，不能认为它只是“换个插头”。

图中四只电阻相等，左输出 v_L 接反相支路，右输出 v_R 接同相分压支路：

所以这一级会翻转原先定义的差分输出。想保留原极性，可以交换送入转换级的两路电压。做外部题时，以题目给定的最终 u_o=ku_Xu_Y 为准，别把内部差分 k 的负号又额外乘一次。

参数表为什么要讲：它告诉你理想算式在哪些地方会失效

教材列输入偏置、失调、输出不平衡、运算精度、带宽、满功率响应和上升速率，目的不是让你无条件背一串芯片数字，而是提醒你：乘法正确、幅值正确、变化得够快，是分别要检查的事。

教材表中的 3 MHz、700 kHz、45 V/μs、35 MΩ 等数值，是那张表及其测试条件下的参数，不能当作“任何乘法器都如此”。例如输入频率为 f，平方后包含 2f，即使原输入频率还不高，也要检查输出二倍频是否在允许范围内。

考试优先级：先会理想模型和接法；遇到范围、精度、最高频率、输出失真题，再把对应参数拿出来。题目未指定具体型号时，不用强行往答案里塞这张表的数字。

6.2.3 平方与二倍频：平方后还带着一个直流分量

最简单的平方电路，就是把 X、Y 接到同一输入 u_i：

输入正负都能变化，所以若想把完整的双极性波形都拿来平方，应使用能接受相应输入象限的乘法器。k>0 时，理想平方输出非负；k<0 时，输出非正。不要把“平方结果不小于零”误写成“电路输出一定为正”。

若输入峰值为 U_m，u_i=U_msinωt，利用 sin²θ=(1−cos2θ)/2：

教材用 U_i 表示输入正弦的有效值，U_m=√2U_i，于是同一结果写成 kU_i²(1−cos2ωt)。两种写法只差幅值约定，不是物理结果不同。

图中 k=0.1 V⁻¹、U_m=2 V，平方输出在 0—0.4 V 之间变化，平均值 0.2 V；去掉直流后，在 −0.2—+0.2 V 之间变化。交流周期减半，频率加倍。

若题目要求“纯二倍频交流输出”，还要在后面加隔直耦合电容与负载，且选择 RC 使二倍频落在有效通带内。刚接通时还有暂态；“减去平均值”的理想曲线表示隔直后的稳态近似，不表示随便接一只电容就能对任何频率完全无失真。

三次方、四次方：逐级写中间量，别数错 k

两块乘法器都取同一个系数 k。第一级把输入平方，第二级把这个结果再乘原输入：

要做四次方，则把第一级输出同时送入第二级的两个输入：

这里也按接线核对教材：第 280 页图 6.2.8(b) 是“先平方，再把结果平方”，在两级系数都为 k 的前提下，应得到 k³u_i⁴；页中给出的 k²u_i⁴ 与这张图不一致。用量纲也能检查：k³u_i⁴ 的单位才是 V。若两块系数分别为 k₁、k₂，四次方输出就是 k₂k₁²u_i⁴。

举例取 k=0.1 V⁻¹、u_i=2 V，第一级输出 0.4 V；三次方接法输出 0.08 V，四次方接法输出 0.016 V。先代第一级，再代第二级，很容易看出系数是否漏了。

级联会积累失调、定标误差和带宽限制，每一级也都要检查范围。教材提到级数多时精度变差，是在说明继续堆乘法器的代价，不是宣告“任何器件超过三块都绝对不能用”。基础题主要考你能不能沿图逐级代入。

对数—指数实现任意次幂：这段为什么出现，可以先掌握到哪里

6.1 已经学过对数、指数。因为 exp[N ln x]=x^N，可以先把输入变成对数，再用可控比例 N 缩放，最后取指数，从而避免为了很高次幂不断堆相同乘法器。

把电压定标写清楚，关系可以表示为：

这里 N 是无量纲的指数；若用某个控制电压设置 N，需要通过电路系数把它定标成无量纲数。书上把若干常数合并后写 ln u_i，做严格的单位检查时，应理解为对归一化电压取对数。

N>1 可以实现高次幂，0<N<1 可以实现相应开方，但基本对数支路要求输入为正，不能自动处理所有负输入的实数幂。这段的用途是说明“同一个电路思路可以换指数”，做常见平方、除法、平方根题时先不必重推它内部的温度补偿。

除法的主电路：把乘法器放进反馈，方程里就会出现分母

给图统一记号：被除数为 u₁，分母输入为 u₂，运放输出为 u_o，乘法器输出另记为 v。请把 v 和 u_o 分开，这能避免多数绕晕。

先假定电路能建立负反馈并在线性区，P 接地，于是 N 虚地；理想输入端不取电流。在 N 点把“流入”统一写在一边：

另一边，乘法器的一个输入是 u₂，另一个输入是运放输出：

原来需要乘法器输出去满足一个指定的 v；当 u₂ 改变时，运放会调整 u_o，让乘积重新满足这个要求。所以是反馈“倒过来解乘法”，结果自然出现除法。

这时电流箭头怎么用：如果你选择输入电流从 u₁ 流入 N，反馈电流从 N 流向 v，那么 i₁=u₁/R₁，i₂=−v/R₂，并有 i₁=i₂。换成“两个电流都取流入”就写成两项和为零。两种记法完全等价，不能一边换箭头，一边忘记改电压差。

除法最关键的条件：接 N 时要求 ku₂>0，接 P 时要求 ku₂<0

刚才先用了负反馈条件，现在把它补出来。保持 u₂ 不变，让输出 u_o 短暂增加一点 δu_o，乘法器输出的变化为：

若 ku₂>0，反馈电压 v 同向增加。它送到 N，会让运放输出往下降，抵消原先的增加，所以是负反馈。若 ku₂<0，v 反向下降；还送到 N，就会让运放输出继续升，变成正反馈。这时应把求和节点接 P，另一端接地，才能恢复负反馈。

当反馈求和节点换接 P 时，理想线性状态下 P 也为虚地，因此同一条 KCL 仍给出相同的代数表达式 −R₂u₁/(kR₁u₂)；变化的是允许的极性和必须使用的接法。

判断的是小变化的方向，不是当前输出的正负。一个输出为负的电路照样能是负反馈。k 确定、接线固定以后，分母只允许保持某一符号，所以这个基本除法结构通常是二象限；分子可以取正负。

例：k=+0.1 V⁻¹、R₂=R₁、u₁=0.4 V、u₂=2 V，N 接反馈时 u_o=−2 V。若分母变成 −2 V，纯代数会算出 +2 V，但原接法已成正反馈，不能把这个数当作可工作的输出。

分母非零还不够：很小的分母会把输出推到限幅

设输出允许 |u_o|≤U_om，除法公式还必须满足：

继续取 k=0.1 V⁻¹、等阻值、u₁=0.4 V，若输出最多 ±10 V，分母的绝对值至少应为 0.4 V。取 0.1 V 虽然不是零，却要求输出 −40 V，实际会饱和。这个界限还没包含乘法器输入范围、运放共模范围等额外条件。

分母接近零时，它自身的偏移与噪声也会被显著放大。固定分子时，小分母扰动引起的相对输出变化约为 −δu₂/u₂。因此“分母越小，除法越灵敏”，通常也意味着更难保持精度。

负反馈符号正确是必要条件，实际电路还要有足够的环路增益和合适的频率补偿。基础题未给动态模型时，先完成极性、范围与理想关系；不能把静态极性检查当成对任意频率稳定性的完整证明。

平方根：解出两个代数根，还得用反馈条件选一个

把上面的分母输入也接到运放输出，反馈量就变为 v=ku_o²。仍在 N 点列 KCL：

第一关：根号里面不能为负，所以非零工作点要求 ku_i<0。第二关：乘法器输出对运放输出的增量关系为：

于是平方根的符号不是随意选的：

取等阻值、k=+0.1 V⁻¹、u_i=−0.9 V，方程给出 u_o²=9 V²，但这个 N 反馈接法选的是 +3 V。取 −3 V 时，2ku_o<0，变为正反馈，虽然代数等式相同，却不是想要的可工作分支。

过关要求：答案要同时有运算式、输入极性和输出取根符号。只写“±根号”没有完成电路题。u_o=0 附近反馈通道的斜率趋近零，理想等式仍能写零点，但实际小信号环路增益与恢复能力会变差。

闭锁与二极管：为什么要防止电路跑到另一个分支

以 k>0、需要正输出的平方根电路为例。正常输出略增，平方反馈也增，N 电位升，运放把输出压回来。若启动或异常扰动把输出带到负值区域，平方反馈的增量斜率却变成负，原接法就可能形成正反馈，把运放推向负饱和。

此时即便输入回到了允许范围，电路也不一定自动回到原来的线性分支。教材把这种不能自行恢复正常运算的状态称为闭锁。

图中在运放输出后串入只允许正向传递的二极管 D，并通过 R_L 给输出节点提供对地通路。这里要严格区分：u_a 是运放本身的输出，u_o 是二极管之后、送去乘法器反馈的输出。

正常导通时，运放可以把 u_a 提高一个二极管正向压降，仍让 u_o 满足平方根关系。因为反馈取在二极管后面，不能简单说“最终结果一定少 0.7 V”。这种补偿也受运放输出余量限制。

若运放想往负方向走，二极管截止，输出节点由 R_L 拉向零，避免乘法器反馈取到负的 u_o 而进入错误分支。图示针对 k>0 的正根方案；若系数及所需分支改变，保护方向也要相应设计。

这段有没有必要弄懂：会判断根号、会选分支之后，至少再会解释“二极管限制错误分支、反馈取自二极管之后”。若题目只让求理想运算式，不必额外分析启动瞬态；若问二极管作用，这几句话就是得分点。

立方根：三次方反馈是单调的，正负输入都能处理

把前面两级乘法器构成的三次方网络放入反馈，其输出 v=k²u_o³。N 点 KCL 不变：

只要两级系数相同且不为零，就有 k²>0，而三次方对正负自变量都是单调增加的。在非零工作点：

所以反馈送回 N 时，两种输出极性下都能形成局部负反馈。实数立方根只有一个，不像平方根有正负两个代数分支需要筛选。正输入得到负输出，负输入得到正输出。

例如 k=0.1 V⁻¹、等阻值、u_i=−0.08 V，得到 u_o³=8 V³，因此 u_o=2 V。中间量也要检查：三次方网络第一级是 ku_o²=0.4 V，第二级输出为 0.08 V，与 −u_i 一致。

零点附近斜率也会趋近零；实际精度、带宽、范围仍有限。这些限制不会因为代数上能对任意实数开立方，就自动消失。

例 6.2.1：分子是两个输入的差，N 点也不是虚地

按教材图 6.2.14：两只 R₁=10 kΩ，两只 R₂=100 kΩ；u_i1 经 R₁ 接 N，u_i2 经另一只 R₁ 接 P，P 再经 R₂ 接地。乘法器输出 v 经 R₂ 回到 N，两个乘法输入分别是 u_o 与 u_i3，k=−0.1 V⁻¹。

第一步，先回答极性题。反馈返回 N，要求 ku_i3>0；k 为负，所以 u_i3 必须小于零。这个要求与 u_i1、u_i2 当下谁大谁小无关。

第二步，先求 P 的电位。理想运放不取输入电流，所以 P 只是电阻分压点：

除非 u_i2 恰好为零，否则 N 不为零。这里仍能虚短，却不能把 N 当成虚地。

第三步，在 N 点列 KCL。

第四步，代入乘积关系。

书中把电压按 V 代数值后常简写成“100×比值”；上式明确保留了系数的电压单位。不要把 k 的负号与括号里的差值顺序各改一次后，又多出第三个负号。

辅导例 6.3.5：看起来复杂，仍是每级写一条关系

先看辅导书图 6.3.8(a)。两路输入经过不同电阻送到 N，乘法器输出 v 经 R₃ 回来。已知 k>0、u_i3>0，反馈通道增量增益为正，所以送 N 是负反馈。理想模型下 N 虚地：

注意加的是输入电流，只有电阻相等时才方便写成电压和乘统一系数。这道题是“加权求和＋除法”，不是额外出现了一种要重新背的新器件。

再看图 6.3.8(b)。两个输入分别平方，经等阻值的反相求和，再送入带平方反馈的第二只运放。用功能框图标出每级的输出，比一次盯着全部连线更容易：

最后为什么取正？这里 k>0、反馈接 N，所以要求 ku_o>0。它得到的是两路瞬时电压平方和的平方根。若 u_i1=3 V、u_i2=4 V，结果为 5 V；这类“3、4、5”检查很适合发现系数是否漏掉。

不要把它直接叫时间均方根：单路信号的 U_rms=√[(1/T)∫u²(t)dt]，需要“平方、按时间平均、开平方”三个动作。本题没有时间平均级，也没有自动除以两路数量。两路等权数值的均方根应是 √[(u_i1²+u_i2²)/2]，还需要相应的定标。

辅导例 6.3.6：先标对两个输入端，公式才能成立

这题故意把运放输入端的正负留空。上端经 R′ 接 u_i1，下端接乘法器输出 v 的分压：上臂 R_f=20 kΩ，下臂 R=10 kΩ。乘法器两个输入是 u_o、u_i2，k=+0.1 V⁻¹。

假设输出增加一点。u_i2>0 时，v 随之增加；下端电位也增加。要压回输出，下端就必须是 N，上端是 P。u_i2<0 时，v 反而下降；下端应改标 P，上端改标 N。

两个端子标对后，无论哪一种合法情况，虚短都给出：

两种接法的表达式相同，但各自要求的分母极性不同。这题特别适合检验你是否只记了“N 一定接反馈”：反馈通道会反号时，必须看完整回路。

三道思考题：二倍频、逆运算、四种反馈接法

6.2.3 要你画的四种组合如下。这里 u₂ 为分母；u₁ 可正可负。不要只背表，任选一图，假设 u_o 略增，检查回来的信号能否把它压回。

四图在线性状态下都满足 u_o=−R₂u₁/(kR₁u₂)，但每图只能在图示的 k 与分母极性组合下工作。换成“输入放到另一端、反馈先分压”的结构，就像辅导例 6.3.6，要重新按接线列式，不能直接照抄这一图的负号。

6.2 过关线：会这六步，再去做题就不会被图绕住

1. 给每一级输出单独命名。运放输出 u_o 与乘法器输出 v 分开；多级时先写 q₁、q₂。
2. 每个乘法器先写一次 v=ku_Xu_Y。保留每块的 k 和符号，别跳步。
3. 检查反馈方向。固定外部输入，给 u_o 一个小增加，看反馈能否抵消；除法看 ku₂，平方反馈看 2ku_o。
4. 再用虚短、虚断。先求 P，后列节点 KCL；P 非零时，N 也非零。
5. 解代数后补工作条件。分母非零、根号合法、正确分支、输出不饱和、各中间量在范围内。
6. 代回两条关系自检。乘法器的乘积关系、运放外部网络要求的反馈量，必须给出同一个 v。

以上是 6.2.3 及本节三道思考题的过关检查。例 6.2.1 和辅导书两个对应例题已拆开；下面接 6.3 有源滤波电路，把重点转到频率响应、截止频率与电路识别。

6.3 有源滤波：先看哪段频率能过，再算它能过多少

6.1 主要问“输入这样变，输出怎样运算”；6.3 换一个角度，问“同样幅值的正弦输入，频率换了，输出会变成多大、相位变多少”。电路里的电容阻抗随频率变化，某些频段容易通过，另一些频段被衰减，于是形成滤波。

本次按教材 6.3.1—6.3.3 的纸面正文讲完低通、高通、带通、带阻、全通和三道思考题，再拆辅导书例 6.3.10—6.3.13。纸面中的 6.3.4、6.3.5 仅给在线扩展入口，这里另补必要概念，不把未读取的在线全文说成已经讲完。

记号统一：H(s)=U_o(s)/U_i(s)。用 K 表示同相放大级的电阻增益，K=1+R_f/R_g；滤波网络的 R、C 另标，避免与放大级电阻混淆。各图均省略运放电源及部分偏流补偿电阻，实心点表示相接，跨线拱桥表示不相接。

6.3.1 五种滤波器：名字来自通带，不来自电容放在哪里

低通 LPF 让低频通过，高频衰减；高通 HPF 反过来。带通 BPF 只保留某个中间频段，带阻 BEF 则削弱一个中间频段、保留它两侧。全通 APF 的幅值不随频率改变，但相位会改变。

图中竖直跳变只是理想示意。真实有限阶电路不会在一个频率点突然从“完全通过”变成“完全挡住”，中间总有过渡区。所谓“通过”，也不意味着电压增益必须等于 1：通带内可以放大、衰减或反相，只要相应频率得到保留。

若有用信号本身也在干扰频段，滤波不能只凭“有用、无用”两个名字把它们自动分开。比如信号与工频干扰都含 50 Hz，陷掉 50 Hz 时，有用信号的这一部分也会被削弱。

通带、截止与分贝：−3 dB 不是“输出剩三成”

设某低通的低频通带增益为 A_p。本章常用的截止约定是：幅值下降到通带幅值的 1/√2，而不是输出等于零。

0.707 是电压幅值比。只有在比较同一电阻等相应条件下，功率比才是 0.707²≈1/2。输出电压并不是减半，更不是只剩 3%。若通带增益为 10，截止处幅值约为 7.07，而不是 0.707。

频率每增大十倍，幅值减少到原来的 1/10，对应 −20 dB/十倍频；减少到 1/100，对应 −40 dB/十倍频。这是远离转折区后的渐近斜率，真实曲线在转折附近是圆滑的，不是一根突然折断的直线。

做图题的最低要求：先标相对哪个通带增益归一化，再标截止点和斜率。对带通，−3 dB 两端通常相对中心峰值定义；对带阻，通常相对远离阻带的通带定义。参考值用错，求出的边界就会错。

为什么从无源 RC 讲起：负载会同时改变增益与截止频率

先去掉 R_L。输入经电阻，输出取电容两端；按阻抗分压：

低频时电容阻抗大，几乎没有电流，R 上几乎不掉电压，输出接近输入。高频时电容阻抗小，把输出节点拉向地，输出变小。

接上 R_L 后，低频虽然电容开路，R 与 R_L 却仍然分压。输出节点的电容所看到的电阻也变了：

若 R_L=R，通带增益从 1 变成 1/2；等效电阻变成 R/2，截止频率变成原来的两倍。不是“带负载只小一点电压、频率特性还照旧”。

在 RC 后面加理想跟随器，就能把负载隔开：运放输入不取电流，RC 仍按未加载的关系工作；输出再由跟随器驱动 R_L。这就是最简单的有源滤波器。

“带负载特性基本不变”的边界：这是在运放输出电流、功耗、摆幅和带宽允许范围内的结论，不是输出电阻小就能无限供电。本章通常讨论小信号处理，整流电源的大电流滤波还要按电源与负载条件选择无源 RC、LC 等网络。

传递函数与阶数：把电容换成 1/(sC)，仍然是列电流方程

你不必先学完整套拉普拉斯变换，才能做本章基础题。先掌握零初始条件下的阻抗写法：电阻为 R，电容为 1/(sC)。从节点 X 流向节点 Y 的电容电流写成 sC(U_X−U_Y)，电阻电流仍为 (U_X−U_Y)/R。

这是同一条 KCL 换了记号，不需要重新背一套“滤波专用定律”。若题目要算接通瞬间的暂态，还给了电容初始电压，就不能丢掉初始条件；本节频率响应分析默认讨论稳定的正弦稳态。

阶数看化简、消去公共因子后的传递函数分母中 s 的最高次幂。一阶常见 1+sτ；二阶常见 1+as+bs²。电容数量只能帮助猜测，不能代替计算：有些电容不构成独立状态，有些只作供电去耦；本节三电容的多路反馈高通依然是二阶。

先记一阶标准式：低通 H=A_p/(1+sτ)，高通 H=A_psτ/(1+sτ)，截止频率均为 1/(2πτ)。其中 A_p 可以带负号，类型看频率选择，不看输出是否反相。

6.3.2 同相一阶低通：把选频和放大分开算

先看同相端 P 前面的 RC，它不受理想运放输入电流加载，所以 U_P/U_i=1/(1+sRC)。后面的电阻负反馈放大级给出 U_o=KU_P：

于是通带增益为 K，截止频率为 1/(2πRC)。在理想模型里，R_f/R_g 调放大倍数，RC 调截止频率，两个功能分开。

自设设计题：希望通带放大 2 倍，截止频率 1 kHz。可先取 C=10 nF，算 R=1/(2πf_cC)≈15.9 kΩ，再取 R_f=R_g=10 kΩ。实际选用邻近标称值后，重新计算实际截止频率；不要把设计值和取整后的结果混写。

图中纵轴按各自通带归一化。低通截止处相位为 −45°，高频渐近 −90°；同相一阶高通则在截止处为 +45°。本图没有额外的反相负号；遇到反相电路，要把它造成的相位变化另算进去。

简单二阶低通：两段 RC 没有缓冲，不能直接把两个一阶相乘

图中两只 R 相等、C₁=C₂=C。很容易误写成 K/(1+sRC)²，但第二段会从第一段中间节点 M 取电流，所以第一段已经被加载。

令 p=sRC。P 节点不向运放取电流，它的 KCL 为：

M 节点的输入电流分成流过 C₁ 和流向 P 的两部分：

关键区别就在 3sRC，而隔离良好的两个相同一阶级联是 2sRC。你不必把“3”当孤立数字背下来；知道它来自 M 节点多分出去的一股电流，就知道为什么不能照搬。

截止处要求分母的模等于 √2，解得 r⁴+7r²−1=0，正解为：

二阶使高频远端衰减变为 −40 dB/十倍频，但它不保证通带能一直平坦地延伸到 f₀。这个电路在 f=f₀ 时幅值只有 K/3，早就低于 −3 dB。因此 f₀ 叫特征频率，不能无条件改叫截止频率。

把 C₁ 改接输出：为什么这里又有负反馈，又有正反馈

教材的压控电压源二阶低通，把上一图 C₁ 的接地端改接到输出。电阻 R_f、R_g 仍负责运放的负反馈与增益 K，C₁ 则让输出变化返回滤波网络，改变截止附近的响应。

做题不靠“看见正反馈就一定振荡”的口号，而是把接线落实到电流。P 点方程仍为 U_M=(1+p)U_P；M 点中 C₁ 的电流改成 sC(U_M−U_o)：

原来的 3 变为 3−K，输出反馈减小了二阶系统的阻尼。附近的幅值可以抬起来，截止特性也随之改变。这个结构也常称为 Sallen–Key 低通；本讲义主要按教材的“压控电压源”名称理解。

图中每条反馈支路的“正、负”并不等于你能分别忽略另一条支路。先确认运放电阻回路可建立局部负反馈，使用 U_o=KU_P；整个滤波系统是否稳定，还要看联立后分母的极点。

Q 与稳定范围：Q 越大越尖，不能一直调到 K=3

把一般二阶低通写成标准式：

与刚才的等 R、等 C 电路比较，得到：

理想模型要稳定，二阶分母的阻尼系数必须为正，所以 K<3；本图同相电阻放大级又有 K≥1，因此通常的可用范围为 1≤K<3。K=3 时理想极点落在虚轴上，扰动不衰减，不能当成稳定滤波工作点；K>3 时则是不稳定情形。别用绝对值把负阻尼硬改成“正 Q”后继续套公式。

在 f=f₀ 时，|H|=Q|A_p|，所以 Q 描述该频率相对直流增益抬高或压低了多少。但 f₀ 不一定正好是幅值峰值的位置；Q>1/√2 才会出现非零频率的峰值，峰值频率为 f₀√[1−1/(2Q²)]。

例如 K=2 时 Q=1，f=f₀ 的增益等于直流增益，但此前已经有小峰值；K=2.8 时 Q=5，f=f₀ 的增益约为 14 倍。输入 1 V 峰值就可能要求输出 14 V 峰值，实际电源摆幅必须检查。高 Q 同时会增加对元件偏差、运放带宽与相位的敏感度。

什么时候 f₀ 才等于截止频率：二阶巴特沃斯是一个重要特例

一般二阶低通的幅值为：

把 r=1 代入就得到 Q。要让 f₀ 恰好位于 −3 dB 点，必须 Q=1/√2≈0.707。这是二阶巴特沃斯低通的条件，教材在后面比较三种响应时还会用到。

若要通带增益更大，可以在保持该二阶级的 Q 条件下另接合适放大级，不能把本级 K 随便调到 10，又要求它仍是相同的二阶巴特沃斯响应。

反相一阶低通：实用积分器换个观察角度，就是滤波器

输入经 R₁ 到 N，反馈为 R_f 与 C 并联，P 接地。你在 6.1 已见过这个有泄漏的积分器，这里直接从反馈阻抗得到：

截止频率用的是与 C 并联的 R_f，不是看到输入端的 R₁ 就代进去。低频主要由电阻比决定增益，高频电容反馈增强，输出逐渐衰减。

当 |sR_fC|≫1 时，H≈−1/(sR₁C)，才近似积分器。纯电容反馈的理想积分器在频率趋零时增益发散，不能直接当作通带增益有限的普通低通。加上 R_f 后，直流有反馈，才得到这里的平坦低频通带。

同一个电路为什么讲两次：时域看积分、初值和恢复，频域看通带、截止与斜率。不是又多出一张要独立背的图，而是你已经会的电路多了一种问法。

反相二阶：简单连接和多路反馈，先看反馈电阻接在哪个节点

简单反相二阶在输入中点 M 加 C₁，N 到输出仍用 R_f∥C₂。因为 N 虚地，M 右边的 R₂ 相当于对地负载。先算 M，再算反相级：

低频增益是 −R_f/(R₁+R₂)，因为低频电容开路，输入的两只电阻实际串联。别在这一图套成 −R_f/R₁。

多路反馈结构把 R_f 从 N 改接 M，C₂ 仍接 N 与输出。这里低频 C₂ 开路，R₂ 中电流为零，因此 M 与 N 都为零，低频增益反而是 −R_f/R₁。这两个相似图的系数不同，原因就在分支电流。

对多路反馈图，N 点与 M 点分别给出：

消去 U_M，得到：

电阻、电容都为正时，a、b 为正，不存在前面“同相级 K 一到 3 就使阻尼翻号”的那个限制。但实际运放的有限带宽仍可能影响稳定与精度。“无限增益多路反馈”指分析时把运放开环增益理想化，不是整个滤波器输出无限放大。

掌握边界：第一轮会区分两张图的低频等效电路，并独立列出两节点方程；老师要求设计多路反馈参数时，再练从 a、b 比较 f₀、Q。不要一开始就把长式子当成背诵表。

高阶级联：阶数相加，截止点却不能直接照搬

级间影响可忽略时，两个二阶级联得到四阶，传递函数相乘，幅值的分贝数相加。若两级在同一频率各下降 −3 dB，总响应就在该频率下降约 −6 dB，这个频率不是总电路的 −3 dB 点。

更简单的例子：两个经过缓冲的相同一阶低通级联，H=K₁K₂/(1+sτ)²，令 f₀=1/(2πτ)，总幅值相对直流值为 1/[1+(f/f₀)²]。于是：

这个 0.644 与前面直接加载的简单二阶约 0.374 不一样，恰好说明缓冲与级间加载会改变结果。设计高阶巴特沃斯等响应时，各二阶节的 Q 也不一定一样，不能只把几块“各自看起来平坦”的低通随便叠上去。

三种响应怎么比较：平坦、选择性与波形保持有取舍

教材比较巴特沃斯、切比雪夫和贝塞尔，是让你知道同为二阶、同有一个特征频率，截止附近也可以长得不同。

图按本书给的二阶示例 Q≈0.707、0.96、0.56 重画，横轴为各自 f/f₀。0.96 不是任何切比雪夫设计通用的固定 Q；做题应按题给的阶数、纹波和归一化方式。这里先理解比较目的，不要求自行推导整套滤波器逼近理论。

6.3.3 高通：一阶先用“电容串入信号通路”理解

把一阶低通网络中的串联 R 与对地 C 互换，得到串联 C、对地 R。理想同相放大级仍为 K，网络分压为 R/[R+1/(sC)]：

f→0 时电容开路，P 被 R 拉到地，输出趋零；频率相对截止频率足够高时，电容近似短路，增益趋 K。沿频率升高方向，低频远端以 +20 dB/十倍频爬升到通带。

“高频能过”是相对于设计频段说的。真实运放高到一定频率也会衰减，不能把理想 f→∞ 的等效结果解释为实际器件能工作到无限高频。

低通与高通的对偶替换，是针对这里负责选频的 RC 网络。不要连同运放设置偏置、负反馈的所有电阻都不加分辨地换成电容。

二阶高通：会写标准式，也要防止把 f₀ 误当任意 Q 的截止频率

等 R、等 C 的压控电压源二阶高通，分母与相应低通相同，分子多出 (sRC)²：

低频分子二次趋零，远端斜率为 +40 dB/十倍频；高频分子、分母的二次项相除，趋向 K。稳定条件仍是本结构的 K<3。

在 f=f₀ 时，幅值仍为 QK，而截止处应为 K/√2，所以一般不能直接说 f_c=f₀。Q=1/√2 才恰好相等。教材第 293 页把相应频率式记作 f_p；用在任意 Q 的计算题时，仍应回到幅值定义核对。

教材还给了三电容的多路反馈高通。按图中编号，其关系可整理为：

虽然画了三只电容，传递函数的分母最高次仍是 s²，这就是“不能只数电容”的现成反例。

与书中长公式对照：把分母标准化为 1+s/(Qω₀)+(s/ω₀)²，必须有 Q=√b/a。本书式（6.3.32）印出的 (C₁+C₂+C₃)√[R₁/(C₂C₃R₂)] 对应的是 a/√b，也就是 1/Q。这里按同页传递函数逐项比较，避免把 Q 越大、带宽越窄的关系反着用。

带通的两种做法：通带交集，以及直接构成一个二阶网络

高通只要 f 大于下边界 f_L，低通只要 f 小于上边界 f_H；串起来以后，必须两个条件都满足，所以要 f_L<f_H，中间才有可用通带。理想隔离时顺序可以交换。

f_L、f_H 是各级自身的边界，真实总响应的 −3 dB 边界还要看 H_总=H_HPH_LP。当两边隔得不远，通带未必平坦，不能把理想矩形通带直接当实际曲线。

教材的单运放带通则把低频抑制与高频抑制放在同一反馈网络里。按图中选频元件 C₁=C₂=C、R₁=R₃=R、R₂=2R，放大级另记 K=1+R_f/R_g，得到：

这里 K 只是同相放大级的电阻增益，整个带通的中心增益是 KQ，不能混用。输入低频时串联 C₂ 阻断，输入高频时 C₁ 旁路中间节点，只有中间频段保留下来。

带通最常考的三个量：中心、上下限、带宽与 Q

标准二阶带通相对中心增益，可以写为：

中心 r=1 时虚部为零，幅值达到中心值。−3 dB 两端要求 Q²(r−1/r)²=1，于是：

中心频率一般是两个边界的几何平均，不是算术平均。高 Q、窄带时二者接近，基础题若没说窄带，不要直接写 f₀=(f_L+f_H)/2。

自设例：f₀=1 kHz、Q=5，BW=200 Hz，两个边界约为 905 Hz 和 1105 Hz，而不是严格的 900 Hz、1100 Hz。对刚才那张等元件带通，Q=5 对应 K=2.8，中心增益为 14；调 K 同时改变了带宽和中心增益。

图把每条曲线都除以自己的中心增益，目的是比较带宽。它没有表示“改 Q 时实际中心增益保持不变”；实际增益是否一起改变，要看具体接法。

带阻：两路输出要经过求和，相位也要一起算

如果低通保留 f<f_L，高通保留 f>f_H，且 f_L<f_H，把同一输入分别送入两路再合成，便可保留两端、削弱中间。它与带通串联的“取交集”不同，这里是两路合成。

不能把两只运放输出端直接短接来“求和”，要用求和电路或合适合成网络；也不能只把两条幅值曲线相加。真正相加的是带符号、带相位的复数响应 aH_LP+bH_HP，相位不合适时可能出现你不想要的增强或抵消。

阻带很窄、主要消除某个中心频率时，常称为陷波。理想陷波中心可以严格为零，实际电路受元件匹配、温漂和运放误差影响，陷波深度有限。若题目只按理想元件分析，可以写中心零输出；实际参数题则不能据此保证无穷大的衰减。

双 T 带阻：先把两条 T 支路和中点元件认对

一条 T 由两个串联 R 和中点对地的 2C 构成；另一条 T 由两个串联 C 和中点对地的 R/2 构成。它们只在输入、输出两端相连，两条支路的中点不是同一个节点。后接同相放大级，理想输入不加载双 T。

低频时电容开路，通过两只 R 把信号送到 P；高频时电容通路主导，P 也能跟随输入。在中间的特定频率，两支路相位与幅值配合，使输出相消。

上式是对图示平衡双 T 逐节点计算得到的补充关系，帮助你看到：s=jω₀ 时分子为 1−1=0，低频与高频却都趋向 K。基础识图题会说明这三个频段，就抓到了带阻的本质。

教材随后把电容 T 中点的 R/2 下端从地改接输出，形成正反馈，调整陷波宽度。图中“接 Uo”的端子与输出同名端相连；2C 仍接地，不要两条中点支路一起改。

对于这个同相结构，稳定的常见范围为 1≤K<2。K 越接近 2，理想 Q 越大、陷波越窄，但不能因此把 K=2 当成稳定的“无限 Q 滤波器”；也不能用 |2−K| 掩盖 K>2 的负阻尼。

这张图按标准二阶陷波的远端通带归一化，只比较 Q 对阻带宽度的影响。实际陷波有多深，还取决于 R、R、R/2 与 C、C、2C 的匹配，Q 大并不自动代表匹配更准确。

全通：幅值全过，相位可变，不能当作一根导线

全通图(a)的反相输入电阻与反馈电阻相等，所以 U_o=2U_P−U_i；P 端是串 C、对地 R 的高通分压：

令 s=jω，分子 −1+jωRC 与分母 1+jωRC 的模相同，所以所有频率的 |H|=1；相位却为：

低频趋近反相的 180°，f=f₀ 时为 +90°，高频趋向 0°。对单一正弦而言，幅值不变、相位可调。

图(b)把 P 端改成低通分压，仍有 U_o=2U_P−U_i：