频率响应
从电容到截止频率

学完这一章，你要能交出什么答案

本章的主任务不是背下十几种放大倍数，而是完成一条固定路线：选频段 → 画等效电路 → 找电容两端的等效电阻 → 求截止频率 → 写频率表达式或画图。“哪个电容起作用”“从哪里看电阻”比最后按计算器更重要。

本章约定：小写 u、i 表示随时间变化的量；带相位的 A(f)、U、I 表示正弦稳态下的复数比值或相量。为阅读方便，部分公式省去相量符号。频率 f 用 Hz，角频率 ω=2πf 用 rad/s，两者不能直接互换。

4.1.1 为什么原来算出的增益突然不够用了

第二、三章的计算常把耦合、旁路电容当成短路，把管内很小的电容当成开路。两种处理看似矛盾，其实都在比较容抗与周围电阻。电容的容抗大小为：

同一只电容，f 越低，容抗越大；f 越高，容抗越小。外接耦合电容往往较大，中频时已经很容易通过交流；管内结电容很小，中频时几乎不分流。因此存在一个频段，两类电容都可以作刚才的简化，这才叫中频段。它不是固定的“音频”或某个通用频率范围。

到了低频，耦合电容容抗变大，信号在它上面分掉的电压变多；到了高频，结电容容抗变小，原本能控制管子的信号电流被分走。前者让信号不容易传到下一级，后者让控制电压难以建立，两者都可能使增益下降。

这还会引起相位变化。比如输入正弦波正在过零，输出可能已经过零，也可能尚未过零。频率响应同时回答“放大几倍”和“提前或落后多少角度”，所以必须分成幅频特性与相频特性。

它为什么与做题有关：复合波形包含不同频率的分量。如果各分量得到的幅度比例或相对时序改变，输出形状就会变。即使晶体管一直在放大区，也可能出现频率失真。这与第二章大信号导致的截止、饱和削顶是两种原因，不能用同一个办法处理。

4.1.2 高通：输出取电阻两端，低频被挡住

先把三极管拿开，只分析教材图 4.1.1 的 RC 网络。图上电流箭头规定从输入流向 R；电压上正下负。箭头的用途是帮你写出同一条回路的分压式，不是要求你想象电子怎样绕圈。

输入电压等于电容压降与电阻压降之和；输出恰好就是电阻上的压降。串联电流相同，所以用阻抗分压：

别急着记。先代两种极端：f→0，电容近似断开，R 中几乎无电流，输出趋于零；f 很高，电容近似导线，输出接近输入。由电路就能检查公式有没有写反。

复数公式怎样变成幅值？复数 1+jx 的模是 √(1+x²)，相角是 arctan x；分子 jx 的模是 x、相角是 +90°。相除时模相除、角相减，因此：

“截止”不表示信号变成零，也不表示管子进入截止区。它只是选定的性能边界：幅度降到通带参考值的 0.707。R=10 kΩ、C=0.1 μF 时，RC=1 ms，f_L≈159 Hz；不是 1 kHz，后者漏掉了 2π。

最低要求：给出 R、C 会求 f_L；给出 f 会算幅值和相位；知道增大 C 会降低下限，让更低频率通过。

4.1.2 低通：输出取电容两端，高频被分走

元件仍然是 R 和 C，但输出改取 C 两端，结论就反过来了。高通还是低通由连接和取样位置决定，不由“电路里有一个电容”决定。

低频时电容电流很小，R 上压降小，输出接近输入；高频时电容容易把电流引向参考地，输出节点难以建立电压。图中向下的 i_C 表示输出节点流向电容的参考电流，方程就是 i_C=jωCU_o。频率越高，相同输出电压需要越大的电流，信号源经过 R 供不上，输出便下降。

在 f=f_H 时，幅值为通带的 0.707，相位为 −45°；在 10f_H 时，幅值约 0.0995，相位约 −84.3°。这一对“高通 +45°、低通 −45°”是一阶单个环节的截止点性质，不要推广成任何多级电路在截止处都恰好 ±45°。

一个普通带通型放大器有下限 f_L 和上限 f_H，通频带宽度 f_bw=f_H−f_L。只有 f_H远大于 f_L 时，才可写 f_bw≈f_H。直接耦合放大器可以把直流放大，通常取 f_L=0。

4.1.3 波特图：把乘法变成加法，把宽频率范围压进一张图

如果横轴等距画 1 Hz、2 Hz、3 Hz，就几乎没法同时放下 1 MHz。波特图改为每乘 10 占同样的横向距离，所以 1→10 和 10→100 的图上距离相同。纵轴的电压增益写成：

常用对应关系：1 倍是 0 dB，10 倍是 20 dB，100 倍是 40 dB，1000 倍是 60 dB，10⁵ 倍是 100 dB。−100 倍也是 40 dB，反相信息去相频图里表达。分贝公式中的绝对值不能漏。

幅度下降为原来的 1/√2，对应变化 20lg(1/√2)≈−3.01 dB。因此中频增益为 40 dB 的放大器，截止处约是 37 dB，而不是纵坐标 −3 dB。只有把通带归一化为 0 dB，截止点才画在 −3 dB。

蓝线由复数表达式计算，虚线是做题常画的折线。高通在 f<f_L 的低频一侧，|H|≈f/f_L：频率乘 10，幅值乘 10，增益加 20 dB，所以斜率为 +20 dB/十倍频。低通在 f>f_H 一侧，|H|≈f_H/f，斜率为 −20 dB/十倍频。

折线在拐点相交时并没有下降 3 dB，真正曲线才比通带下降约 3 dB。题目说“近似波特图”，画折线并标拐点；题目要该频率的准确增益，就代幅值公式。不要拿折线去否定截止定义。

相频折线可以这样记：变化主要发生在 0.1f_c 到 10f_c 的两个十倍频程中，中心 f_c 走到一半。低通从 0°走向 −90°；高通从 +90°走向 0°。端点以外取常数是画图近似，实际曲线是渐近的。

做题优先级：必须会分贝换算、找拐点、按每个一阶因子累加 ±20 dB 斜率；相频要会确定方向和几个关键点。Bode 的人名历史只需知道名称，对计算没有额外要求。

4.2.1 混合 π 模型：把高频时分走的电流画出来

第二章用 i_c=βi_b。高频时，一部分外部基极电流流过结电容，已经不能全用来建立控制电压，所以 β 变成了与频率有关的复数量。教材改用内部发射结电压 u_b′e 控制集电极电流，写作 i_c=g_mu_b′e。

b 是外部基极，b′ 是模型中的内部基区节点，并非多了一根可接线的引脚。r_bb′ 表示基区体电阻，r_b′e 表示发射结的小信号电阻。它们串起来才是第二章用的 r_be：

室温近似取 U_T=26 mV。若 I_CQ=1 mA、β₀=100，则 g_m≈38.5 mS，r_b′e≈2.6 kΩ。若另给 r_bb′=100 Ω，r_be 才是 2.7 kΩ。不能把两种电阻混成一个再到处代。

C_π 是发射结等效电容，跨 b′、e；C_μ 是集电结电容，跨 b′、c。图中从 b′ 流向 C_π 的支路电流不直接穿过 r_b′e；外部输入电流要按节点方程分配。箭头的用处到这里十分具体：告诉你哪一项是输入，哪几项是分流，才能列 i_b=i_r+i_Cπ+i_Cμ。

完整物理模型还有一些很大的结电阻及输出电阻。教材在它们远大于相应外接电阻或电抗时将其略去。学习时要分两层：知道它们为什么存在；做基础计算会画并使用这里的简化模型。无需为每道入门题重新推导半导体内部物理，但也不能在题目明确给出有限输出电阻时擅自删去。

4.2.1 密勒等效：几皮法为什么也能拖慢放大器

C_μ 麻烦在于它跨在输入、输出之间；输出一动，也会通过它影响输入电流。先看一个数字：内部输入 u_b′e 增加 1 mV，反相增益 K=−100，输出便变化 −100 mV。电容两端变化量不是 1 mV，而是 1−(−100)=101 mV。

写成公式，就是电容两端的电压差。规定电容电流从输入流向输出：

从输入端看，它取走的电流等于一个接地电容 C′_μ=(1−K)C_μ 取走的电流。这就是等效的依据。并不是元件实际变大了，而是输出反向运动，增大了跨接电容两端的电压变化。

若 C_π=30 pF、C_μ=3 pF、K=−100，则输入总电容为 30+101×3=333 pF。3 pF 小，但它对应的输入负担已经是 303 pF。这正是高增益共射电路高频容易下降的原因之一。

输出侧的等效电容是 C″_μ=(1−1/K)C_μ。当 K=−100 时，它仅为 1.01C_μ。教材常在输出侧时间常数明显较小时忽略它，把问题约化成一个输入端低通。输入电容大，不是忽略输出电容的充分理由；还要比较各自与等效电阻相乘得到的时间常数。

三个易错点：K 取电容两端之间的电压增益，通常不是从信号源 u_s 到输出的总增益；反相时 1−K=1+|K|；用中频 K 做密勒单向化是这里的近似方法，极高频、多极点或强反馈情况下不保证仍精确。

4.2.2 fβ、fT、fα：先看谁下降，再谈截止

这三个是管子的电流传输参数；整台电压放大电路的上限频率另记 f_H。概念最容易混在这里：f_β 是 β 降到低频 β₀ 的 0.707 时的频率，f_T 是 |β|降到 1 时的频率，二者不是同一个“不能放大了”的点。

测短路电流增益时，集电极与发射极之间的交流电压为零，模型中的 K=0，输入结电容取 C_π+C_μ，不带上普通共射电压放大时的大密勒系数。由输入电流分配可得：

令 |β(f_T)|=1，得 f_T=f_β√(β₀²−1)。β₀ 足够大时，教材用 f_T≈β₀f_β。如果 β₀=100、f_β=1 MHz，那么 f_T≈100 MHz；在 1 MHz，β 仍约 70.7，不是 1。

共基电流增益 α=β/(1+β)，代入上述单极点表达式，得到：

所以共基电流增益的截止频率远高于共射电流增益的截止频率。这有助于理解为什么共基、共射—共基结构常用于较宽频带。具体电路的 f_H 仍然还要考虑信号源电阻、负载、寄生电容等，不能直接宣布 f_H=f_α。

考试还常反过来给频率参数，让你求模型电容。方法很短：先由 Q 点求 r_b′e，由 f_T/β₀ 得 f_β，再算 C_π+C_μ=1/(2πr_b′ef_β)，最后减掉 C_μ。如果算出 C_π 为负，先检查 Hz、MHz、pF 是否统一，以及是否误用了 r_be。

4.3 场效应管高频模型：不取直流栅流，不代表不取交流电流

选学：老师暂时跳过场效应管，可以先接 4.4.1。但“高输入电阻也会有高频电流”这句话值得保留。

栅极没有明显直流导电通路，仍有栅源电容 C_gs、栅漏电容 C_gd，以及漏源电容 C_ds。交流时电容电流由 i=C·du/dt 决定，变化越快，对前级取流越明显。MOS 的“栅极绝缘”与高频电容电流完全不冲突。

共源级由 g_mu_gs 控制漏极电流。跨在栅漏间的 C_gd 也能作密勒等效：

输出侧时间常数远小时忽略 C′_ds，输入就只剩一个等效电容 C′_gs。计算逻辑与三极管相同，不过理想绝缘栅输入端没有 r_b′e 那样的低阻分流支路。

课本思考“等效栅源电容是不是常量”，答案要分清原始器件电容和等效结果：即便把器件电容看作给定常量，C′_gs 仍会随 K 改变，K 又取决于 g_m、Q 点和实际负载。等效参数属于“器件装进这个电路之后”的结果。

4.4.1 同一张共射图，为什么要画三次等效电路

这里跟教材图 4.4.1：输入信号源经过 R_s 接基极，基极经 R_b 接电源，发射极接地，集电极经 R_C 接电源，输出通过 C 接负载 R_L。输入端没有隔直电容，这会影响后面的静态计算。

三张图不改变原电路；只在不同频段保留主要因素。直流电源在三张交流图里都接交流地，受控源保留。做题时先把这张表落实到图，再列方程，比从十个公式里猜一个可靠。

下面分别求中频放大倍数 A_usm、低频 A_usl、高频 A_ush。下标 s 提醒你：本节教材研究的是 U_o/U_s，包含信号源内阻造成的输入分压。若题目另问 U_o/U_i，就应去掉源端分压那一项。

4.4.1 中频：沿信号路线，把三次电压变化乘起来

中频时 C 短路，R_L 接到了集电极，所以实际集电极负载 R′_L=R_C∥R_L。C′_π 开路，输入电阻 R_i=R_b∥(r_bb′+r_b′e)=R_b∥r_be。

从信号源到输出，依次发生三件事：R_s 与 R_i 分压得到 u_i；内部 r_bb′ 与 r_b′e 再分压得到真正控制电压 u_b′e；受控电流在集电极负载上形成反相输出。

利用 g_mr_b′e=β₀，式子变成 [R_i/(R_s+R_i)]·(−β₀R′_L/r_be)，正好回到第二章。这一步是重要的检查：高频模型把电容拿掉后，应该给出熟悉的中频结果。

如果算出的增益比内部 K=−g_mR′_L 的幅值还大，先检查有没有把小于 1 的分压系数倒着写。电阻分压不会凭空增加电压。

4.4.1 低频：耦合电容看到的是两侧电阻相加

只把输出回路取出来，受控电流源与 R_C 可以等效为一个空载电压源 U′_o 串联 R_C。于是 U′_o 要经过 R_C、C 和 R_L 才得到负载电压。

前面的电阻分压本来就包含在中频带载增益中。剩下的是一个高通因子：

为什么不是 R_C∥R_L？先把独立激励置零，再把 C 拿开，从它的两只端子看过去：左端经 R_C 到地，右端经 R_L 到地，端子之间只有一条经过两只电阻的通路，因此相加。中频算集电极负载时，C 被短路，两只电阻上端才合成同一个节点，此时才并联。看的是不同端口，不能搬同一个并联结果。

因为共射中频已经反相，以连续相位 −180°为基准，低频相位是 −180°+arctan(f_L/f)。在下限附近约 −135°，向更低频走近 −90°。说“低频附加相移 +45°”，不是说该共射电路总相位为 +45°。

4.4.1 高频：从内部基极看出去，求的是哪一个电阻

高频时输出 C 已短路，主要影响集中在输入电容 C′_π。把信号源 U_s 置零，理想电压源短路，R_s 上端因此经它接地；R_b 的电源端本来也是交流地。

从 b′ 到 e 有两条并行通路：一条直接经过 r_b′e；另一条先经过 r_bb′ 到外部基极，再经过 R_s∥R_b 到地。所以：

这一步的电阻既不是输入电阻 R_i，也不是随意选一个 r_be。决定你从哪里看的，是电容实际接在哪两个节点。题目让你求输出电阻时才从输出端看；这里从内部 b′、e 看。

若 R_b 远大于 R_s，可以将 R_s∥R_b 近似为 R_s，但 r_bb′ 仍要按题目精度保留。减小 R_s 通常降低 R_H，更容易给输入电容充放电，从而提高上限。这里也解释了为什么前一级加一个低输出电阻的射极跟随器，会改善后级的高频驱动。

共射总相位是 −180°−arctan(f/f_H)，上限处约 −225°，高频渐近 −270°。−225°与 +135°只差一整圈，正弦稳态等价；画连续相频曲线时统一用同一分支，不要中途突然跳 360°。

例 4.4.1：从 Q 点到频率表达式，一次算完整

沿用上面的共射原图。教材给定 V_CC=15 V，R_s=1 kΩ，R_b=20 kΩ，R_C=R_L=5 kΩ，C=5 μF；U_BEQ=0.7 V，r_bb′=100 Ω，β₀=100，f_β=0.5 MHz，C_μ≈C_ob=5 pF。

第一步：静态先算对，特别留意输入没有隔直电容

信号源的直流分量为零，因此静态时源端接地，但 R_s 还连着基极。R_b 提供的电流要分给 R_s 和基极。沿基极节点列 KCL：

如果按固定偏置直接把 (15−0.7)/20 kΩ 当作基极电流，会大错，因为你遗漏了流向 R_s 的支路。此时那些电流箭头正是为了提醒你节点电流要相减。管压降结果表明 Q 点适合小信号放大。

第二步：先模型参数，再密勒电容

完整保留 1−K，C′_π≈178.6+(1+144.2)×5=904.8 pF。教材把 1+|K|近似为 |K|，并取整，得到约 898 pF。两种结果差不到 1%，属于已说明的近似。做题中不要一边提前近似、一边又拿末位小数判断谁错。

第三步：算中频源电压增益

第四步：上下限分别找各自的电容回路

教材进一步把 R_s∥R_b 近似为 R_s，并使用 898 pF，得到约 263 kHz。遵循课本估算口径，可交出 f_L≈3.2 Hz、f_H≈263 kHz；保留较多参数算到约 269 kHz，也应把所用表达式写清楚。

第五步：写全表达式，再画幅频和相频图

在这个单主导低频环节、单主导高频环节且上下限相隔很远的模型里，幅频图中间约 38.6 dB，左侧斜率 +20 dB/十倍频，右侧 −20 dB/十倍频。下限与上限处各自约下降 3 dB，相位分别约 −135°、−225°。

你真正要学会的是五步顺序：Q 点决定模型参数，参数与实际负载决定密勒电容，两个电容各自决定一个时间常数，最后组装频率表达式。单背 −85、3.2 Hz、263 kHz 对换一组参数的题没有用。

4.4.2 共源频响：换了管子，解题骨架不换

选学。本节按教材图 4.4.7 的条件：源极交流接地，输入信号经串联电阻 R_g 驱动栅极，输出经 C 接负载。这里 R_g 是输入串联电阻，不要自动当成栅极对地偏置电阻。

忽略栅极漏电和有限漏源输出电阻，中频栅极近似不取流，输入串联电阻上没有明显压降，u_gs≈u_i。因此：

高频时情况变了：输入电流会流入 C′_gs，使 R_g 上出现交流压降。它与电容形成低通。低频输出耦合则与共射完全一样，两侧电阻相加。

举一个迁移练习：g_m=2 mS、R′_L=5 kΩ，C_gs=10 pF、C_gd=2 pF，R_g=10 kΩ。那么 A_um=−10，C′_gs=32 pF，f_H≈497 kHz。不能因输入电阻很高，就说 R_g 对高频无影响。

若另有栅极对地偏置电阻、有限信号源内阻或未旁路源极电阻，要重新从输入电容两端求等效电阻和电压增益。上述几个简式依赖本节电路，不是所有 MOS 放大器的统一答案。

4.4.3 怎样展宽频带，以及为什么增益不能白拿

改善低频响应是让 f_L 降低。由 f_L=1/(2πRC)，要增大相应时间常数，常见办法是增大耦合、旁路电容。改变回路电阻也能改变 f_L，但电阻同时影响偏置、分压和增益，不能随意增大。需要传递直流或极慢变化信号时，直接耦合才是更根本的选择。

改善高频响应是让 f_H 提高。它也写成 1/(2πRC)，这次要减小时间常数：减小器件及布线电容、减小驱动电阻、减弱密勒效应，或改变接法。你可以用一个统一公式判断方向，却要清楚低频希望下限向左，高频希望上限向右。

为什么课本突然讲“增益带宽积”？因为共射增益与 g_mR′_L 有关，输入密勒电容也随它增加。想提高增益，会让输入电容负担变大，从而降低上限。这解释了一类设计上的权衡，也常用于参数变化题。

这不是任何放大器、任意改参数都成立的定律。它是在前述近似下得到的估算关系；改了信号源内阻、器件、偏置或主要极点，乘积也可能变化。做题看到“增益加倍、带宽减半”前，应先确认题目确实采用近似恒定的增益带宽积。

例如一类近似恒增益带宽积电路，原来 100 倍、上限 100 kHz，乘积为 10 MHz。若同样条件下改为 50 倍，可估上限约 200 kHz。这里用的是“倍数×Hz”，不是“40 dB×100 kHz”。

频带也不是越宽越好。信号只需要一个范围时，过宽的带宽会放过更多范围外的干扰，可能还牺牲增益。设计任务是覆盖所需信号，并满足失真、噪声和稳定性条件。这个解释服务于简答与设计判断；不要求你现在就完成低噪声放大器设计。

4.5.1 多级级联：放大倍数相乘，衰减也会相乘

第三章说总增益等于各级增益之积；现在各级增益都随频率变化，所以每一个频率都要做同样的乘法。各级参数应包含实际级间负载，不能拿几个互不连接时的空载数据拼起来。

两级都有同样的上限 f_H1。在那个频率，每级剩下自身中频幅值的 0.707，总共剩 0.707²=0.5，即总增益已下降 6 dB。整机定义的上限只允许下降 3 dB，所以整机上限必然比 f_H1 更低。

同理，两级相同的高通环节，在原来单级的下限处总共也下降 6 dB。要恢复到总共只降 3 dB，必须把频率提高，因此整机下限升高。普通单调高通、低通级联的结果是：低端向右挤，高端向左挤，通频带变窄。

这解释了第三章的一个现象：集成运放内部级数多、开环增益很高，但开环通频带可以很窄。第五章会看到，负反馈在稳定性条件满足时可牺牲部分增益来换取更宽的闭环带宽。

必须会判断：两级每级在某频率下降 3 dB，总共下降 6 dB；三极点高频最终斜率为 −60 dB/十倍频。一个拐点处突然出现 −60 的斜率，可能代表三个相同或接近的极点，不能因为只看到一个拐点就断言只有一个极点。

4.5.2 总截止频率：先看能否由一个环节主导

若各级上限是 10 kHz、1 MHz、10 MHz，那么接近 10 kHz 时，后二级几乎不衰减，总上限接近 10 kHz。若各级下限是 1 Hz、2 Hz、100 Hz，则总下限接近 100 Hz。这是主导环节近似：高频抓最小的上限，低频抓最大的下限。

若多个截止频率相近，不能只取最差的一个。对于各级可视作一阶高通、低通且上下限相隔较远的情形，按整机下降 3 dB 定义，可分别列：

为什么右边是 2？总幅值比为各级平方根因子的倒数，要等于 1/√2；两边平方并取倒数，就得到 2。这样推一次，你便知道它不是随意增加的修正项。

教材用忽略高次项并加入经验修正的方式估算：

这两式适用于若干截止频率相近时的估算。单级无需加 1.1；一个环节明显主导时，也应优先用主导环节近似。注意高频公式的左边是 1/f_H，不能误把上限频率直接平方相加。

如果 N 级完全相同，可以直接解定义式，不必用修正系数：

这里把两套结果并列，是为了避免你拿精确式做完后被辅导答案的小差异困住。考试要求“估算”且按教材时，使用教材系数并说明；需要精确求该模型的 −3 dB 点时，就解定义方程。

例 4.5.1：从折线反推表达式

教材图给出中频 80 dB、低频 10 Hz 处一个 +20 dB/十倍频环节、高频 200 kHz 处开始 −60 dB/十倍频，且各级均为共射。对应中频幅值 10⁴，一个低频高通因子，三个同拐点的高频低通因子；三次共射反相给出负号：

下限约 10 Hz；教材估上限为 0.52×200 kHz≈104 kHz。按三个完全相同的一阶极点精确计算约为 102 kHz。200 kHz 是每个高频因子的拐点，不是整机 −3 dB 上限。这道题最重要的考点就是把这两者分开。

例 4.5.2：三个大电容，为什么旁路电容常常最难伺候

回到第二章分压偏置共射电路：输入耦合 C₁、输出耦合 C₂，发射极 R_E 并联旁路 C_E。按教材估算，研究其中一个低频电容时，先把其余低频大电容短路，管内结电容仍开路。电源接交流地，独立信号源置零，从研究对象的两端看电阻。

对于输入耦合 C₁，左边是源内阻 R_s，右边是 R_B1∥R_B2∥r_be，所以两边相加。对于输出 C₂，是 R_C+R_L。旁路 C_E 的两端却是发射极与地，它所看到的包含从发射极看入管子的低电阻。

那个“除以 β+1”从哪里来？从发射极往管子送一个试探电流 i_e，基极支路只流约 i_e/(β+1)。r_be 与基极外接电阻上的压降相加，除以试探 i_e，就得到它们的总电阻除以 β+1。这其实就是第二章射极跟随器输出电阻的方法。

假设 r_be=2 kΩ、β=100、R_s∥R_B1∥R_B2=1 kΩ、R_E=1 kΩ，则管内这一支约 3000/101≈29.7 Ω，再与 1 kΩ 并联仅约 28.8 Ω。若 C_E=10 μF，对应转折频率约 552 Hz。把它错算成 1/(2πR_EC_E)，会得到约 15.9 Hz，差得非常大。

所以当三个电容容量相等，C_E 所在回路电阻常常最小、时间常数最小、对应频率最高，成为低频瓶颈。要把它的对应频率降到 10 Hz 左右，按刚才的参数需约 C_E≥1/(2π×28.8 Ω×10 Hz)≈553 μF。这解释了电路中旁路电容为什么经常明显大于耦合电容。

估算边界：发射极旁路环节严格说有极点也有零点：C_E 失效后，共射仍可能保留未旁路 R_E 下的较小增益，并非单靠它就使直流增益变成零。教材在旁路前后增益差较大时用其主要转折来估下限。若要求完整精确传递式，或两个增益平台相差不大，应保留 C_E 与 R_E 的完整阻抗列方程。

4.6 扩展：频率响应怎样变成“上升得快不快”

所提供教材第 194 页列出阶跃响应的指标、频率与阶跃响应关系两个数字资源入口，没有附上正文。这里用一阶低通作基础补充，让你知道这段为什么出现；不把它当作对外部资源的逐句转述。

给一阶低通突然加一个电压阶跃，电容电压不能瞬间跃变，归一化输出为 y(t)=1−e^−t/τ，其中 τ=RC=1/(2πf_H)。t=τ 时到最终值约 63.2%，并不是已完全稳定。

常用上升时间 t_r 取 10% 到 90% 之间的时间。将 y=0.1、0.9 分别代入，得到 t₁₀=−τln0.9≈0.105τ、t₉₀=−τln0.1≈2.303τ，所以：

上限 1 MHz 的单极点系统，上升时间约 0.35 μs。这是“频带越宽，响应越快”的定量版本。但 0.35 依赖一阶低通模型，不适用于所有多级、振铃或复杂补偿系统。

还要和第三章转换速率 SR 分开：小信号带宽来自线性频响；SR 限制大信号最大变化斜率。正弦输出幅值 U_om 时，最大斜率为 2πfU_om，应不超过 SR。一个电路可能小信号带宽足够，却在大幅输出时受 SR 限制。看题干问“频响”还是“大信号速度”，决定用哪条条件。

学习优先级：掌握带宽与响应速度的联系、上升时间的定义；0.35/f_H 要带上单极点条件。若老师不考这部分，无须先把多阶阶跃响应推导啃完再做前面的主线题。

4.7 仿真与实验：怎样证实你算出的两个截止频率

纸面只列出了仿真方法和静态工作点稳定电路频响研究的数字资源入口。这里给出不依赖某个软件版本菜单的操作目标：先验证 Q 点，再扫频，最后按相对中频增益下降 3 dB 找边界。

1. 搭建电路并先测静态。检查基极、发射极、集电极电位，确认管子在放大区。偏置不正常时，后续频响与按放大区模型算出的结果没有可比性。
2. 做小信号交流扫频，横轴选对数频率，范围覆盖预计 f_L 的十分之一以下和 f_H 的十倍以上。记录增益比 U_o/U_s 或 U_o/U_i，与手算端口保持一致。
3. 先找中间平坦区域的增益 G_m，再找 G_m−3 dB 的两处交点。不要在整个图上盲找纵坐标 −3 dB。
4. 每次只改一个量：增大输出耦合电容，观察低端左移；改变信号源内阻，观察高端及中频增益；改变负载，观察增益与密勒电容造成的联合变化。
5. 再以小幅正弦作时域验证，取通带中间、下限、上限三个频率测幅值比和时间差。相位由 Δφ=360°fΔt 换算，并判清输出超前还是滞后。

交流小信号分析中的“AC 幅度 1”是方便读传递函数的归一化设置，不表示真实电路允许 1 V 的大幅瞬时输入。时域验证必须选择不会使管子削顶或进入转换速率限制的幅度。

仿真与手算不同，先逐项检查：器件模型是否含更多寄生参数，Q 点是否相同，是否漏算负载，信号源内阻是否一致，取的是源端还是放大器输入端增益。不要看到曲线差一点就盲目改元件“凑答案”。

正文阶段自测：用六个问题检查有没有真正接起来

进入章末题前的标准：你应能不看答案重做例 4.4.1，并在纸上写清 C₁、C₂、C_E 三个回路的电阻。若这两项还卡住，先回看相应等效图；继续堆公式不会解决端口没看清的问题。

章末自测：先把“会用公式”和“会看端口”分开

教材自测第一题的选择依次是：（1）A；（2）B、A；（3）B、A；（4）C、C。理由依次为：测频响要固定小信号幅度并改变频率；高频衰减主要来自极间及分布电容，低频衰减主要来自耦合及旁路电容；截止处为中频幅值的约 0.707，即降约 3 dB；单共射一阶模型的下、上限总相位分别约 −135°、−225°。

自测二：输入有隔直电容，静态时源内阻不再分走偏置电流

这里 V_CC=12 V，R_b=500 kΩ，R_C=5 kΩ，R_s=1 kΩ，输入 C=5 μF，输出空载。管子 β₀=80、r_bb′=100 Ω、C_μ=4 pF、f_T=50 MHz。注意与例 4.4.1 的区别：这次 C 在输入，直流时断开，所以源内阻不参与基极静态分流。

按辅导书的取整方式，r_b′e≈1.17 kΩ、r_be≈1.27 kΩ；接着得到 A_usm≈−178、C′_π≈1.60 nF、R_H≈567 Ω。保留更多小数也得到相近结果，不必对这一处百分之一量级的差异纠缠。

中频约 45 dB，两个拐点约 14 Hz、175 kHz。相位取 −180°+arctan(14/f)−arctan(f/175000)。本题的低频电阻是 R_s+R_i；上一例输出电容对应 R_C+R_L。电容位置变了，就必须重新找两端。

自测三：只有幅频图，不能擅自确定反相

原图给出 60 dB 平台、10 Hz 的低频拐点、10 kHz 与 100 kHz 两个高频拐点。故中频幅值 1000，下限约 10 Hz，上限由 10 kHz 环节主导，约 10 kHz。题目空格的单位是 kHz，应填约 10；10⁴ 是以 Hz 表示的数值。

正负号都保留，是因为幅频图使用绝对值。没有相频图或已知接法，无法区分同相与反相。相比之下，下一道 4.2 给出了中频 −180°，负号就能确定。

4.1 参数变化题：先分清有没有改变 Q 点

这是输入、输出各有耦合电容的共射级，R_i≈r_be。空载时，输出 C₂ 的有限负载效应可在 R_L→∞ 的极限下忽略，下限主要由输入 C₁ 决定：

减小偏置 R_b，在管子仍处于放大区的前提下，基极电流和静态集电极电流增加，r_be 减小；输入电容的时间常数变小，下限升高。接上有限 R_L 后，C₂ 增加一个低频衰减环节，总下限也升高。因此第一组方向答案为①、①。

令 R_s=0，输入电容回路电阻减小，上限提高，填①。注意输入仍有 C₁ 隔直，改变源内阻没有直接破坏原偏置；且 r_bb′ 尚在，不能因此写上限无穷大。

再次减小 R_b，按辅导书采用的通常工作范围与主导效应：静态电流增大，g_m 增大；密勒等效电容增大；高频响应变差，上限减小。该组三空按书中答案为①、①、③。

理解边界：最后一步不等于“任何偏置变动都必然降低上限”。R_H 与结电容也会随 Q 点变化，严谨比较应代回完整的 R_HC′_π；若进入饱和，更不能沿用原模型。本题训练的是教材给定近似下的变化方向。

4.2 看图写公式：用相频图决定负号

图中的平台是 30 dB，下限拐点 10 Hz，上限拐点 100 kHz；相频图中频为 −180°，所以是反相。先把分贝换成倍数：

不要把“30 dB”直接当成 30 倍，也不要因为幅频图在正半轴就写正增益。图中还给出下限 −135°、上限 −225°，与单个高通和低通因子一致。检查分子必须有 jf：否则 f→0 时不会趋于零，就与低频下降的图矛盾。

4.3 低频有两个斜率：意味着两个高通因子

中频 40 dB，所以幅值 100；共射决定中频负号。低频最左侧为 +40 dB/十倍频，经过 1 Hz 后变成 +20，再经过 10 Hz 后变平。这对应两个高通转折 1 Hz、10 Hz。高频只有一个 250 kHz 的低通转折。

若展开分子，(jf)·j(f/10)=−f²/10，再乘 −100，得到 +10f²。展开后分子为正，不表示中频同相。因为分母中的两个低频因子在中频也含 j，相位要整体计算。为了少出符号错，优先保留各环节相乘的形式。

这里的 1 Hz、10 Hz 是两个环节的转折，整机下限略高于 10 Hz，按主导近似约 10 Hz；不能说一个电路同时有两个“总下限”。

4.4 一个高频拐点，也可能叠着三个极点

曲线低频没有下降，教材据此判断为直接耦合。10 kHz 之后每十倍频下降 60 dB；在本章“每个单管级主要贡献一个高频极点”的模型下，对应三级放大，三个上限转折都在 10 kHz 附近。

在 10 kHz，每个低通附加相移 −45°，总计 −135°。在 100 kHz，每个环节已到其转折的十倍频；按折线近似，每个 −90°，总计约 −270°。若代入精确反正切，则是 −3arctan10≈−252.9°。书中 −270°是近似画图口径，不是反正切算错。

仅凭幅频斜率能判断极点数量的特征，不能在任意复杂电路中唯一数出三只晶体管。题目答案“三级”依赖本章所采用的电路模型。中频正负号也不能单靠这张幅频图决定。

4.5 分子 −10jf，为什么中频增益是 −100

题给 A(f)=−10jf/{[1+j(f/10)][1+j(f/10⁵)]}。要读出中频增益，先把高通分子整理成 j(f/f_L)，而不是只盯着 −10：

于是 A_um=−100，中频 40 dB，下限约 10 Hz，上限约 100 kHz。也可在 10≪f≪10⁵ 时直接近似：第一个分母为 jf/10，第二个约 1，分子除以后得到 −100。

幅频折线依次 +20、0、−20 dB/十倍频；相位从接近 −90°，经过中频 −180°，走向 −270°。在两个截止处分别约 −135°与 −225°。画图先把平台、两个拐点和这几个相位点标出来，再连线。

4.6 两级共射：两个负号相乘，中频变成正号

题给分子 200jf，分母含 10 Hz、10 kHz、100 kHz 三个一阶因子。先改写 200jf=2000·j(f/10)，得：

中频增益为 +2000，约 66.0 dB。下限约 10 Hz；高频两个转折相差十倍，上限由较低的 10 kHz 主导，约 10 kHz。按两极点定义精确解则约 9.90 kHz，不需要套两个相同极点的 0.644 系数。

相位以中频 0°为基准：φ=arctan(10/f)−arctan(f/10⁴)−arctan(f/10⁵)。低频向 +90°走，高频向 −180°走。若使用两级共射连续累加得到中频 −360°，整条曲线比这里低 360°，正弦物理意义相同；答题统一一套即可。

4.7 四种共射电路比较：把“电容多”换成具体的 RC

各电路静态发射极电流与相关器件参数按题设相同。四图的关键区别见下方：a 有发射极旁路电容；b 是普通双耦合共射；c 输入直接耦合但多串 7 kΩ；d 只有输入耦合，集电极 2.5 kΩ且空载。

按教材正常参数下的估算，答案为：低频最差 a；低频最好 c；高频最差 c。别把这个排列当作新口诀，要看它由什么比较得来。

a 的 C_E 回路电阻含 (r_be+基极外接电阻)/(β+1)，通常远小于两个耦合电容的回路电阻。同容量下，它的时间常数最小、对应频率最高，故低频最差。

c 没有输入隔直电容，只剩输出 C，其回路电阻为 5 kΩ+5 kΩ=10 kΩ；在本题普通工作点范围，它的低频转折低于其他图的输入耦合或旁路转折，故低频最好。若极端改变工作点使 r_be 很大，则应重新按实际电阻比较，不能脱离参数条件推广。

高频时，a、b 的集电极有效负载均为 5∥5=2.5 kΩ，d 为 2.5 kΩ空载，c 也为 5∥5=2.5 kΩ；题设相同工作点使内部增益及密勒电容大体可比。c 输入串联电阻多出 7 kΩ，驱动电容的回路电阻更大，所以高频最差。同一只串联电阻，未必影响直流隔离，却会直接影响高频充放电。

4.8 场效应管比较：先认清理想信号源，也辨认答案的条件

选学。本题辅导书给出的排列为（c）、（d）、（d）。其中高频结论是在忽略输出极点、主要看输入等效电容的近似下给出；低频第一空还需要额外的回路电阻比较，不能不加条件照搬。

a、b、c 图的输入标为 u_i，教材把它当作内阻为零的理想电压驱动。高频时输入耦合电容视为短路，栅极被理想源直接固定。d 是直接耦合源极跟随器，理想源与栅极之间却串有 R_g。因此，在只考虑输入电容的近似中，a、b、c 不由这一输入 RC 限制上限，而 d 的 R_g 与输入等效电容形成有限转折，书中据此选 d 为高频最差。

这不表示真实 a、b、c 的带宽无限；输出电容、器件传输及寄生因素仍会限制它们。对 d 也应使用跟随器的电容关系：源极跟随减小 C_gs 两端电压变化，输入等效电容大致为 C_gd+(1−A_v)C_gs，不能把反相共源级的密勒公式原样套上。

低频最好为 d 较明确：它没有隔直耦合电容，可以传递直流。而“c 的低频最差”不能仅靠图上多了几个栅极电阻就严格推出。辅导书解释为 c 的 C₁ 回路电阻最小；但从原图 C₁ 两端求得的是 R_g3+(R_g1∥R_g2)，题干没有足以保证它最小的数值关系，同时还应比较 a、c 的源极旁路回路。

因此这道题的正确学习方式是：记清辅导书采用的预期答案，同时知道第一空依赖“c 确有最高低频转折”的附加条件。遇到老师给出具体电阻时，列上述时间常数再比较。不能把一个缺少充分参数支持的排序，背成 MOS 的普遍规律。

4.9 时间常数相等，不是电容容量相等

使用 4.7(b)：R_s=1 kΩ，R_b=620 kΩ，r_be=1 kΩ，R_C=R_L=5 kΩ。输入电阻近似 1 kΩ，所以 C₁ 看见约 2 kΩ，C₂ 看见 10 kΩ。

每个环节的转折均为 1/(2πτ)≈6.37 Hz。两个环节相同，总下限不能仍写 6.37 Hz；教材估算 1.1√2×6.37≈9.90 Hz，约 10 Hz。按两个相同一阶高通精确式是约 9.89 Hz。

做题习惯：先写 R₁C₁=R₂C₂，再移项求比例。电阻越小，要凑相同时间常数，电容必须越大。

4.10 旁路电容开路：增益小了，通频带却可能变宽

仍看 4.7(a)，C_E 突然断开。它原本就不通过直流，所以在其他元件不变、原偏置正常时，静态工作点基本不变。交流则不再绕过 R_E，发射极电位会随输入变化，形成局部负反馈。

中频源电压增益的幅值减小：相同输入变化先被 R_E 上的电压变化抵消一部分，u_be 变化变小，集电极电流变化也变小。若 A 原来为负，所谓“增益减小”在这里指 |A|，不能把有符号数 −100 变 −10 当成幅度增大。

下限通常降低：原来主要限制低频的旁路环节消失，输入电阻也因未旁路 R_E 而提高，输入耦合时间常数增大。上限通常提高：电压增益降低，密勒效应减弱，虽然相关等效电阻也变化，教材给定情形下总高频时间常数减小。

这不是电路“坏了反而全面变好”，而是换到了增益更小的工作特性。新的上下限按新的中频增益作为 −3 dB 参考。第五章将系统解释这种增益与带宽的交换。

4.11 共源完整算例：两个 Rs 必须先起不同名字

选学。原图同时出现信号源内阻和源极电阻，容易都读成“Rs”。本页明确记：信号源内阻 R_sig=2 kΩ，源极电阻 R_S=1 kΩ；栅极偏置 R_G=1 MΩ。R_D=10 kΩ，R_L=3.3 kΩ，三个大电容均 10 μF；g_m=5 mS，C_gs=C_gd=5 pF。

低频逐个比较：输入 C₁ 看到约 1.002 MΩ，输出 C₂ 看到 13.3 kΩ，旁路 C_S 看到 1 kΩ∥200 Ω≈166.7 Ω。因此同容量下，旁路转折远高于另外两个：

接着算高频，不要误用 1 kΩ源极电阻。驱动栅极电容的是 R_sig∥R_G≈2 kΩ：

上式的最后一项表示 1+j[f/(1.1×10⁶)]，频率均用 Hz。它是辅导书采用的主导环节近似，省去了很低的另外两个低频转折，并把源极旁路近似为高通。若要求完整低频特性，要保留旁路环节的零点及两个耦合因子。展开分子时 −12.4/95.5≈−0.130，所以分子应为−0.130jf；负号不能在化简时丢掉。

4.12 栅极串联 2 MΩ：小电容也能让上限很低

选学。采用正文 4.4.2 的共源模型：串联 R_g=2 MΩ，R_D=R_L=10 kΩ，输出 C=10 μF；g_m=10 mS，C_gs=C_gd=4 pF。

这是很有价值的一题：208 pF 看起来很小，但乘上 2 MΩ，时间常数已经达到 416 μs，上限就降到几百 Hz。只看电容量大小判断高频性能，忽略驱动电阻，会得到相反的直觉。

波特图平台约 34 dB，拐点 0.796 Hz 与 383 Hz；中频反相，相频曲线依次由约 −90°走向 −180°，再走向 −270°。

4.13 两级相乘：低频抓主导，高频用相同极点公式

题给第一级分子 −25jf、低频转折 4 Hz；第二级分子 −2jf、低频转折 50 Hz；两级高频转折均为 100 kHz。先分别改写：

中频为 +10⁴，80 dB。展开时分子是 −50f²，与上面的环节形式等价。低频 50 Hz 明显高于 4 Hz，故总下限约 50 Hz；按两高通定义式求得约 50.3 Hz。高频两级完全相同，所以总上限约 64.4 kHz，教材取 64.3 kHz。

画幅频折线时，4 Hz 以下斜率 +40，4—50 Hz 为 +20，之后平台；100 kHz 后斜率 −40 dB/十倍频。注意图上最后的高频折线拐点仍是 100 kHz，整机 −3 dB 点在它左边的约 64.4 kHz。相位以中频 0°为参考，从低频接近 +180°走到高频接近 −180°。

4.14 两级电路读图：前级的输出电阻变成后级的源内阻

原图是两级共射，T₁ 经 C₂ 驱动 T₂。C₁、C₂、C_E 都是 10 μF；第一级 R₁=600 kΩ、R₂=3 kΩ，第二级偏置电阻 R₃=15 kΩ、R₄=5 kΩ，集电极 R₅=5 kΩ，发射极 R₆=2.3 kΩ，外部 R_s=1 kΩ。

低频按电容回路比较。C_E 仍然看见第二级发射极的较低等效电阻，含除以 β+1 的支路；同容量时它的时间常数最小，教材据此判断它主导总下限。

高频题设还特意说明两管静态发射极电流相等、r_bb′ 与已经等效后的 C′_π相等，因此可以集中比较驱动电容的电阻。第一级源侧是外部 R_s；第二级的源侧则是前级输出电阻，近似 R₂。

两者还要各自加 r_bb′，再与 r_b′e 并联；共同参数相同，第二级仍较大。相同 C′_π 配上更大回路电阻，第二级时间常数较大，第二级上限较低。

这题把第三章级间关系与第四章频响接起来了：前级输出端不仅给后级一个电压，它的输出电阻还决定了后级输入电容能多快充放电。

第四章收束：把习题归回四种动作

纸面正文、三道课内例题、自测题和习题 4.1—4.14 已逐项衔接。4.8 的排序条件、4.11 的主导近似及化简符号已专门说明；不要把没有充分条件的结果升级成普遍定律。下一章将回答：怎样把输出送回来，让电路对自身变化进行修正，以及为什么送回来以后又可能发生振荡。