第一章学习讲义

1.1 · 教材3—15页

01 一个复数为什么带着两个实数

写成 ，其中 都是实数，。 是实部， 是虚部。虚部是 ，不是 。 例如 的虚部是 。

复数相等，要同时比较实部与虚部：

所以一个复方程往往相当于两个实方程。这是以后从复数等式推出柯西—黎曼方程的基础。

实数就是虚部为零的复数；纯虚数通常要求实部为零、虚部不为零。零单独对待。复数之间没有与实数一样、同时兼容加法和乘法的大小次序，因而题里不要写 ；可以写 、。

做题怎么用 题目要求“求实部、虚部”时，目标是整理成 ，并确认 是实数。复数作分母时，先做下一单元的有理化。

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02 四则运算：乘法展开，除法乘共轭

加减按同类项合并。乘法按多项式展开，再用 ：

共轭是 。关键原因是

因此 时

这不是新技巧的堆积，而是把复分母换成正实数。

完整例题 计算 。

分子实部是 ，虚部是 。算完可乘回去检查：。

必须熟练 按四项循环；；分母不能为零。交换律、结合律和分配律照常使用，第一轮无需重新背它们的证明。

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03 共轭为什么能把“实数条件”变成方程

记住三条：

一个数 是实数，当且仅当 。它是纯虚数的条件为 且 。遇到“证明某复数式为实数”，这比直接拆分实虚部经常更省力。

跟着教材例1走一遍 设 、。问 何时是实数？

先把“实数”改成 ，再交叉相乘：

因为虚部不为零，第一因子不为零，故必须有 。反过来代入也成立，因此这是充要条件。这里 是为了保证原式有意义，不能在消分母后忘掉。

实系数多项式为什么有共轭根 若 的系数全为实数，则 。所以 推出 。这是教材例3的全部主线；限制是“实系数”，复系数一般没有此性质。

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04 模不等式：以后估计积分和级数的工具

模是长度， 是两点间距离。最常用的是

第一条说直线距离不超过折线长度；第二条说两条边长的差不超过第三边。还有

证明看懂哪一步就够 展开

根本工具是 。反三角不等式则把 代入第一条，再交换 。

做题的方向感 要给分子上界，用三角不等式；要证明分母远离零，用反三角不等式。例如 时

这是第三章“长大不等式”里找上界的基本动作。

教材第11页的等号表述要细分 对非零 ， 要求同向；而 也要求同向。若换成 ，就应是反向。先看中间到底是加号还是减号，不能笼统说“三点共线就都取等号”。

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05 把复数放到平面上：模、辐角和主值

对应点 ，也对应原点指向该点的向量。非零复数可写成

角度加上 不改变这个点。沿用本书记号： 表示全部辐角， 表示区间 中的主值。

求辐角的可靠顺序 先定位象限，再找参考角，最后调整到指定主值区间。例如 在第三象限，主辐角是 ，不是 ；全部辐角是 。 本身不能辨认象限。 没有辐角。

为什么讲指数形式 加减适合 ；乘除、乘方、开方适合 。换形式是为了减少计算，不是为了把一个答案写三遍。

1.1 · 教材3—15页

06 乘一个复数，就是旋转并缩放

设 、，则

乘 ，逆时针转 ，长度不变。乘 ，先转 ，再把长度乘2。共轭则关于实轴反射。

注意主值 角度相加得到的是一个辐角，未必已经是主辐角。例如两个辐角均为 的数相乘，角度和为 ，但主值应为 。

完整例题 求 。先写 ，再得

这比连续展开八次清楚得多。反过来，计算 时就不要转成极坐标。

1.1 · 教材3—15页

07 方根：先列一般式，再数够全部答案

求 ，写 、。比较模和角：，。所以

这 个根互不相同，均匀分布在半径 的圆上。 再增加 就重复。 只有根0，重数为 。

教材例8的逐步计算 ，模为2，角分别为 ，故全部根为

负实数在复数范围内开三次方，不只有实根 。

平方根的代数方法 若 ，则 、、。由此

最后用 配符号，不能把 的正负独立任取成四个根。例如 的全部值为 。

1.1 · 教材3—15页

08 曲线与集合：先把模翻译成距离

常见翻译如下。

例如教材 的两个焦点是 和 。重点在认出“到两定点的距离之和”，不必先展开根号。若题目真要半轴：长半轴3，焦距一半 ，短半轴 。

距离比的圆 ，先保留 ，再平方：

整理为 。比值为1时则退化为直线 。这类轨迹在第三章两个异号电荷的等势线里会再出现。

1.1 · 教材3—15页

09 代数曲线改写、三角求和和弦距为什么出现

圆的复数方程 把 、、 代入实方程即可。一般式

可配方成

右端正、零、负分别对应真圆、一个点、空集。 时需另看是否为直线。教材这段是训练“同一对象的两种语言”，做轨迹题时有用。

三角求和的统一招数 用 打包正弦与余弦：

化为半角式后，取实部得到余弦和，取虚部得到正弦和。先熟悉有限等比和，比死背两条长三角式有价值。若 ，回原和式直接算，不能除以零。

教材例4的弦距可第二轮看 它定义

这与下一节把平面放到球面上的距离有关。证明主线是把 拆成与 有关的两项，再用三角不等式及 。最后一条可由两边平方、差为 验证。第一轮普通运算和轨迹题无需背这条弦距公式；保留它，是为了说明无穷远点能和有限点放在同一几何模型里，而不是为了增加一个常考公式。

1.2 · 教材15—17页

10 复数收敛，就是实部虚部同时收敛

定义 是 。它说的是到目标点的距离越来越小，与从哪个方向来无关。用严格语言：任给 ，存在 ，使 时每个 都落在 内。

若 、，则

为什么成立？一方面每个坐标差不超过总距离；另一方面总距离不超过两坐标差绝对值之和。这恰好用到上一节的不等式。

两个对照例子 。而 在四个点之间循环，不收敛。即使 始终不变，也不能推出复数本身收敛。

若 ，则 ，理由是 ，不必追踪每次旋转的角度。若 且 ， 不收敛，因为相邻项距离 不趋零。

1.2 · 教材15—17页

11 无穷远点：模趋于无穷，方向可以乱转

复平面的 只有一个。定义

因此 、、、 都趋向同一个无穷远点；仅仅“无界”还不够，例如奇数项为 、偶数项为0的序列无界，却不趋于 。

最实用的换元是

（最终各项非零）。无穷远点的邻域写成 ，在球面上对应围绕北极的一小块。

黎曼球面要理解到哪一步 从球面北极向平面作投影，每个有限复数对应一个非北极点；模越大，球面上的点越靠近北极。把北极补上，就补上了 。第一轮无需计算投影坐标；要会把“研究无穷远”换成“研究 在零附近”。第四章判断无穷远点的奇性会真正用到它。

运算边界 是延拓记号，、、 不由这些规则决定。遇到这种形式要回到具体极限。

1.3 · 教材17—19页

12 邻域、内点、边界：画一个小圆盘来判断

的 邻域是 ；去心邻域是 ，区别只是是否保留中心。

对集合 ，内点是能找到一个小圆盘完全留在 中的点；外点是能找到小圆盘完全避开 的点；边界点则每一个小圆盘都同时碰到 与其补集。

边界不等于“集合里面的边缘” 的圆周不在 中，却仍然是它的边界。 的圆周既是边界，又属于集合。

全由内点组成的是开集；包含自身全部边界点的是闭集；能装进一个足够大的圆盘里的是有界集。开、闭不是互为否定： 既不开放也不封闭，空集和全平面既开又闭。

1.3 · 教材17—19页

13 区域、单连通和多连通：不是看外形圆不圆

本书把“非空、开、连通”的集合称为区域。连通在这里可用折线连接来理解：集合内任意两点能沿始终留在集合内的折线走到一起。两个分离的圆盘的并是开集，但不是一个区域。

单连通的操作性判断 在区域里任取一条简单闭曲线，它围住的内部也全部留在区域里，则该区域单连通。圆盘、半平面、开扇形、沿一条射线割开的平面都是常见例子。圆环和去心圆盘有洞，是多连通域。

这里“洞”包括删去一个点，不要求洞有面积。 有洞； 的缺口通到无穷远，没有把某个洞完整包住，是单连通的。第三章能否把闭路缩成点、第二章能否选全域连续的对数，都会依赖这个区别。

1.3 · 教材17—19页

14 曲线为什么要带参数和方向

写 ，，就给了一条曲线及其行进顺序。 是起点， 是终点。无自交的曲线称简单曲线；若首尾相同、除端点外不重复，就是简单闭曲线。

最常用的两个参数式是

前者从 走到 ；后者绕圆逆时针一周。把 范围倒过来会改变方向。椭圆可写 ；（）满足 ，但仍要看参数范围决定走哪一支。

为什么讲约当曲线定理 简单闭曲线把平面分成内部和外部，这是说“奇点在曲线里面”的依据。你要会分辨简单闭曲线并读懂内部；不必在本课程第一轮证明这一拓扑定理。第三章开始还会要求曲线分段光滑，以保证积分可以按参数计算。

1.4 · 原书习题20—23页

15 先练哪些题，做到什么程度

第一轮建议按表从上往下做，每一类至少独立完成两小题；某一类错了，就回到对应单元重算例题。原书第11题第二小题是较强的不等式证明，第12—15题几何证明也比直接运算费时，可放第二轮，不影响你先学习解析函数。第17题提醒：主辐角在负实轴处会跳跃，在原点处没有定义；这会直接影响对数分支。

以下是自编检查题，与原书习题另行编号。答案在屏幕上默认折叠，打印版全部展开。

1.4 · 原书习题20—23页

16 一页回看与进入第二章的门槛

看到加减：用 。看到乘方开方：用 。看到“实数”：考虑与共轭相等。看到模：先翻译成长度或距离。看到极限：先判断是模趋零、坐标分别趋定值，还是模趋无穷。看到区域：依次检查开、连通、有没有洞。