第三章学习讲义

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01 复积分加的是有向小位移

把曲线 切成小段，在每段上取点 ，加总 ，分段越来越细，极限就是 。与第一类曲线积分 的区别在于： 带复方向， 只带正长度。

若 、，相乘得到

你无需死记四项的排列；每次把 展开即可。函数沿分段光滑曲线连续，就足以保证这个积分存在，不要求解析。非解析只会影响后面能否用更快的定理。

把黎曼和定义写在这里，是为了说明方向、线性和估计式从哪里来。第一轮做题应能解释这个意思，不必把每一个极限细节都重证一遍。

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02 最通用算法：参数化后记得乘上导数

若 、，则

这是可以处理共轭、模、分段函数的稳妥算法。常见曲线：线段 ；圆弧 。圆弧的 ，不能漏掉 、 或指数。

例题 沿单位圆逆时针计算 。取 、、，所以

曲线闭合不代表积分为零； 在第二章已证明处处不解析。

线性与拼接 积分对函数线性，对按顺序连接的曲线可逐段相加，反向曲线 的积分变号。这些性质使复杂边界可以拆成几条线段和圆弧。

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03 教材半圆环例题：四段分别代入

教材取上半圆环 的正向边界，求 。它由外半圆、左线段、内半圆、右线段依次组成。

外圆 、，被积式乘 为 ，积分为 。左线段从 到 ，，积分为1。内圆必须顺时针，、，积分为 。右线段从1到2，积分为1。因此

这题没有用到柯西定理。真正要练的是把“区域正向”落实为每一段的起终点，尤其内圆不能和外圆取同一个方向。

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04 一个必须记住的基础圆周积分

对逆时针圆周 ，整数 满足

推导只有一次参数化：，积分变成 。当 ，指数恒为1；其余整数给完整周期，积分抵消。

这里的零不能乱解释 时函数在内部不解析，但积分仍为零；因此“积分为零”不能反推“内部没有奇点”。 的 则是柯西积分公式和第四章罗朗系数提取的根基。

3.1 · 教材48—53页

05 长大不等式：最大模乘路径长度

若曲线长为 ，且曲线上 ，则

“长大”就是长度与最大值相乘。用黎曼和的三角不等式即可得到。它估计的是积分的模，不是直接比较一个复数与实数大小。

例题 在 上估计 。由 ，得 ；长度为 ，故积分模不超过 。实际积分可能更小，甚至为零；上界不要求精确达到。

统一的三步 明确曲线长度；给分母下界、分子上界；相乘。大圆弧消失需要 ，仅有 不够。例如长度与 同阶时， 只能保证有界。

3.1 · 教材48—53页

06 小圆弧极限：半圈为什么常出现半个系数

设 ，沿 、，当 ，则

证明先拆为 与余项。前者精确积分为 ；后者在小圆弧上模不超过 ，乘长度 后趋零。这是教材例3的逻辑。

掌握边界 要会判断角度跨度和方向。逆时针半圆给 ，顺时针半圆给 。第一轮不用背证明中的每个 ，但必须知道这是有条件的小弧极限，不是把路径上奇点的积分直接赋一个“半值”。

3.2 · 教材54—57页

07 积分为零需要一整片解析区域

若 是正向简单闭曲线， 在曲线及其内部的某个开邻域内解析，则

教材“在闭域上解析”的意思，就是存在包含该闭域的开集，函数在其中解析。更常见的课堂版本： 在单连通域 内解析， 完全在 内闭合，则积分为零。

做题前逐项检查 曲线是否闭合；函数是否单值；曲线上有没有未定义点；内部有没有奇点或未被包含的洞。只知道“曲线上解析”不够， 在单位圆附近解析，却有积分 。

证明的用途 在偏导足够连续的情况下，用格林公式得到

C-R 使两个被积式为零。教材采用这条便于理解的证明路线；一般柯西定理不需要预先另加导数连续条件。第一轮要会复述“格林把边界积分变成内部偏导，C-R 把它们消掉”，完整的一般性证明可留后续理论课。

3.2 · 教材54—57页

08 多连通域：外圈减内圈，不是每一圈都零

区域正向的统一规则是：沿边界走时，区域留在左手边。 因而外边界逆时针，内边界顺时针。若 在这些边界及中间区域解析，则

若把外圈 与每个内圈 都另按逆时针记号书写，那么

证明可在圆环上割一条连接内外边界的线，把区域剪成单连通；割线来回各走一次、方向相反，积分抵消，只留下外圈和内圈。保留这段证明，是为了让你记住内边界符号，不要求背复杂图形的编号。

关键例子 在圆环 解析，外圈逆时针积分 ，内圈顺时针积分 ，整个边界积分才为零。圆环内处处解析，并不意味着只沿外圈就能套“单连通版本”。

3.2 · 教材54—57页

09 变形路径与路径无关的真正条件

若两条闭曲线包围同一个缺点，且它们之间没有新的奇点，可用多连通定理把一条变成另一条。因此 对包围 一周的任意正向简单闭曲线仍为 ，不一定非要圆。

若 在单连通域解析，两条连接同一起终点的路径合成一条闭曲线，所以两条积分相等。这就是路径无关。你可以换成更好算的线段或折线，但新路径也必须留在允许区域内。

不要过度使用单连通 单连通是保证所有解析函数都路径无关的方便充分条件。有些函数在多连通域上也有全局原函数，例如 在去心平面有原函数 ；它仍然路径无关。反例 才是不能在去心平面直接套牛顿—莱布尼茨的典型。

3.3 · 教材57—61页

10 从积分为零，前进一步到提取函数值

若 在正向简单闭曲线 及其内部解析， 位于内部，则

实际计算常用反写：

分母中的 必须在内部，且分子 要在整片内部解析。如果 在外部且整个被积函数解析，积分为零；如果 正在路径上，普通曲线积分通常无定义，不能把结果想成内外的一半。

完整例题 逆时针，求 。分子 整，点1在内部，故结果 。若半径改为 ，点1在外部，结果0；改为1则奇点落在路径上，不能套用。

3.3 · 教材57—61页

11 柯西公式的证明主线与平均值

在 周围挖一个半径 的小圆。大曲线积分等于小圆积分。把小圆上的分子拆成 ：常数部分积分为 ；误差部分由连续性与长大不等式控制，模不超过 ，所以趋零。

这段证明连接了本章所有基础：挖洞变形、基础圆周积分、连续性和长大不等式。你需要知道为什么误差里分母 不导致爆炸：圆周长也含 ，两者抵消。

若取圆周 ，公式变为

解析函数在圆心的值等于圆周平均值。取实部或虚部，得到相应调和函数的平均值性质。它可证明某些边界值不可能由解析函数产生，也能把实三角积分转成复积分。

3.3 · 教材57—61页

12 高阶公式：分母次数减一是求导阶数

同样条件下， 具有任意阶导数，而且

计算时反写为

最常见失误 把三次分母配成三阶导；实际上 配二阶导，还要除以 。

例如 ，

对多项式也一样：若导数阶数超过多项式次数，就直接为零。高次分母不自动意味着非零结果。

3.3 · 教材57—61页

13 多个分母点：先判内外，再拆分或挖小圈

若 ，不能不看 就把 当成整片内部的解析分子。教材例1取 ，：到0的距离3，故0在外；到 的距离2，到 的距离1，故后二者在内。

于是

这题最关键的一行是三个距离，不是最后的指数化简。

两个内部点都在时怎么办 以 为例， 时先部分分式

分别判断两点是否在曲线内，再用基本公式。更一般时，可挖出每个缺点的小圈，各算一个局部积分再相加，这仍是本章的柯西方法，不必提前依赖第五章留数公式。

3.3 · 教材57—61页

14 为什么解析就有无限阶导数；只给实部也有用

从柯西公式对 作差商，差商的核趋向 。因为内部点离边界有正距离 ，分母可统一远离零，长大不等式保证极限可交换进积分。反复进行就得到高阶公式。重点在“正距离带来统一估计”，而不是形式上无条件把导数搬进积分号。

教材还给出圆周实部决定中心导数的式子：

主线是先把一阶柯西公式参数化，再把 的共轭形式相加，虚部项消去，留下实部。它用于从边界实部恢复导数，也是后续边值问题的入口。第一轮普通积分题优先熟练前两条框中公式；这条公式知道用途、能跟住推导即可，不必优先背。

另一个有用后果是柯西估计：在半径 圆周上若 ，则 。它把长大不等式接到高阶公式上，第四章估计级数系数时会再用到。

3.4 · 教材62—64页

15 原函数与牛顿—莱布尼茨公式

若 在区域 内成立，就称 是 的一个原函数。有原函数时，任何位于 内、从 到 的分段光滑路径都满足

这时积分路径无关，闭路积分为零。 的原函数是 ，多项式和指数也可直接积分。原函数可以相差一个复常数，区域连通使这个常数是全域统一的。

例题 从0到 积分 ，用原函数 ，结果 。不用为曲线形状纠结，因为原函数全平面有效。

3.4 · 教材62—64页

16 从闭路积分为零造出原函数

固定 ，若 连续且所有闭路积分为零，则连接 到 的积分与路径无关，可定义

为了求 ，只看 到 的一小段直线。将 拆成 ，后一项除以 后仍由连续性与长大不等式控制为趋零，所以 。

逻辑链必须清楚 单连通域内解析，保证闭路积分为零；闭路积分为零加连续，保证存在原函数。事实上第二步的核心是路径无关，不再需要重复依赖单连通。教材把单连通保留在定理陈述中，是方便使用的条件，不能把它误当作每个特定函数有原函数的必要条件。

3.4 · 教材62—64页

17 对数原函数的限制与莫雷拉定理

在割开负实轴的平面有原函数 ，但在整个去心平面没有全局单值原函数，否则绕单位圆积分就应为0，与 矛盾。 则有全局原函数 ，即使区域有洞也不受影响。

莫雷拉定理的主意 若 在区域内连续，而且每个足够小的三角形边界积分均为零，则 解析。用刚才的方法在小圆盘构造原函数 ，有 ；解析函数的导数仍解析，所以 解析。教材以所有闭路积分为零来陈述，条件更强、也方便接上上一段。

为什么讲它？它提供“由积分性质反推解析性”的方向，用于证明极限函数等仍解析。第一轮一般计算题不常直接使用，可先会说出“连续 + 一族闭路积分为零 → 解析”，完整证明结构留在这里供理论题复习。不要误写成“某一条闭路积分为零就解析”。

3.5 · 教材64—68页

18 调和函数：两个二阶偏导相加为零

实函数 在区域内有连续二阶偏导，且

就叫调和函数。 调和， 不调和，因为后者的拉普拉斯为4。

若 解析，则 都调和。证明从 C-R 出发：、，由混合偏导相等消去。解析函数有任意阶连续导数，保证这些步骤合法。 称为 的共轭调和函数；注意这与复数共轭 是两个概念。

反过来有条件 在单连通域内，调和 能找到全局单值的共轭调和函数；局部总可以。多连通域则可能只能局部找到，例如 在去心平面调和，但对应的角度不可能全域单值连续。

3.5 · 教材64—68页

19 已知实部补虚部：积分后补一个函数

假设给出 。先确认 。C-R 给

对第一式按 积分：。积分常数必须写成 ，因为当前只对 积分。再对 求导，与第二式比较，得 ，故

若再给 ，则 。已知实部后只剩一个纯虚常数；若已知虚部，则只剩一个实常数。

标准步骤 验调和 → 写两条 C-R → 积一条并保留另一个变量的任意函数 → 用另一条确定它 → 用初值定常数 → 必要时整理成 的表达式。不能只做其中一条 C-R 就宣布完成。

3.5 · 教材64—68页

20 教材已知虚部的例题，两个方法对应起来

给 ，要求 。由 C-R：，所以 ；再用 ，得 ，故 。

整理成复数式：

由初值 ，所以 。这是教材例2。

教材还沿折线积分

从原点先水平走到 ，再竖直走到 ，第一段为0，第二段给 。与刚才结果一致。第一轮优先练“积分后补函数”，路径积分法保留，是为了说明共轭函数存在与单连通的联系。

3.5 · 教材64—68页

21 等值线为什么正交，原点为什么可能例外

解析 且 时，等值线 与 在交点正交。因为法向量分别是 ，由 C-R

非零导数条件确保这些梯度非零，等值线在该点有通常的切线。

对 ，两族线是 与 ，一般交点正交。在原点 ，零等值线各自分叉，不能把那里当成两条光滑曲线直接套正交结论。

这段几何不是额外负担：下一节的等势线和电力线就是这两族等值线。你要掌握正交的条件、会画简单例子，不必徒手画出每一条复杂双曲线的精确形状。

3.6 · 教材68—73页

22 平面场和无源无旋，先用熟悉的分量读

平面向量场写成 ，代表向量 。稳定指不随时间改变；平面场还要求沿垂直该平面的方向分布不变。无限长均匀带电直线的横截面是平面场；空间单个点电荷的完整三维场不属于这种模型。

散度 描述局部源汇，旋度的垂直分量 描述局部旋转。无源无旋即

于是 是解析函数，因为它的 C-R 恰好就是这两个方程；一般不是 本身解析。

对逆时针曲线，

实部是环量，虚部是向外通量。这个式子由直接相乘得到，比分别死记正负号可靠。格林公式进一步把二者变成区域内旋度、散度的面积分。

3.6 · 教材68—73页

23 从解析原函数到场：注意本书复势的定义

若区域单连通、场无源无旋，可取解析函数 ，使

因此 的等值线与场方向垂直， 的等值线沿场方向。对静电场，通常的电势为 ，使 。

严镇军本书的静电复势约定 为

由此

所以 的等值线是电力线， 的等值线是等势线。一些教材把 叫复势，符号位置不同；本讲义按这本书来。复势不是场强，求场强还要先求导、再共轭、乘 。

这里保留完整转换，是为了做原书习题22时不混淆实虚部。流体力学也用类似结构，但势函数和流函数的命名、符号应依具体定义核对，不能把静电的符号直接搬过去。

3.6 · 教材68—73页

24 平面点电荷：圆周等势，射线沿场

本书采用的电磁单位约定下，原点处的“平面点电荷” 代表垂直纸面的无限长线电荷横截面，场为

常数 与单位制有关；学习重点是 的方向与距离关系，使用其他单位制时应调整物理常数。

按上一单元公式可取

在一个对数分支上，。所以电力线 是射线；等势线 是同心圆。 时场向外， 时场向内。

对数多值不妨碍导数与场强单值。绕原点一周后，复势的实部变常数，但场强仍回到原值。原点处有源，故不能把包含原点的整个区域说成无源，也不能忽视多连通造成的全局原函数问题。

3.6 · 教材68—73页

25 两个异号电荷与最简单的匀强场

在 分别放 ，叠加得

局部写成对数比后，等势线为 ，这正是第一章的距离比轨迹： 为圆， 为垂直平分线。电力线为两向量夹角恒定的圆弧族，其几何圆通过 ，实际曲线不含电荷点；退化情况可能为直线的一部分。画图时不应把整个圆一律当成同一辐角分支的单条曲线。