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07 积分为零需要一整片解析区域

若 是正向简单闭曲线， 在曲线及其内部的某个开邻域内解析，则

教材“在闭域上解析”的意思，就是存在包含该闭域的开集，函数在其中解析。更常见的课堂版本： 在单连通域 内解析， 完全在 内闭合，则积分为零。

做题前逐项检查 曲线是否闭合；函数是否单值；曲线上有没有未定义点；内部有没有奇点或未被包含的洞。只知道“曲线上解析”不够， 在单位圆附近解析，却有积分 。

证明的用途 在偏导足够连续的情况下，用格林公式得到

C-R 使两个被积式为零。教材采用这条便于理解的证明路线；一般柯西定理不需要预先另加导数连续条件。第一轮要会复述“格林把边界积分变成内部偏导，C-R 把它们消掉”，完整的一般性证明可留后续理论课。

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08 多连通域：外圈减内圈，不是每一圈都零

区域正向的统一规则是：沿边界走时，区域留在左手边。 因而外边界逆时针，内边界顺时针。若 在这些边界及中间区域解析，则

若把外圈 与每个内圈 都另按逆时针记号书写，那么

证明可在圆环上割一条连接内外边界的线，把区域剪成单连通；割线来回各走一次、方向相反，积分抵消，只留下外圈和内圈。保留这段证明，是为了让你记住内边界符号，不要求背复杂图形的编号。

关键例子 在圆环 解析，外圈逆时针积分 ，内圈顺时针积分 ，整个边界积分才为零。圆环内处处解析，并不意味着只沿外圈就能套“单连通版本”。

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09 变形路径与路径无关的真正条件

若两条闭曲线包围同一个缺点，且它们之间没有新的奇点，可用多连通定理把一条变成另一条。因此 对包围 一周的任意正向简单闭曲线仍为 ，不一定非要圆。

若 在单连通域解析，两条连接同一起终点的路径合成一条闭曲线，所以两条积分相等。这就是路径无关。你可以换成更好算的线段或折线，但新路径也必须留在允许区域内。

不要过度使用单连通 单连通是保证所有解析函数都路径无关的方便充分条件。有些函数在多连通域上也有全局原函数，例如 在去心平面有原函数 ；它仍然路径无关。反例 才是不能在去心平面直接套牛顿—莱布尼茨的典型。