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09 先把一个完整周期变成单位圆一周

对 ，只要原积分有意义，令 。必须同时替换三样：

于是积分变成单位圆逆时针的有理函数闭路积分。 是微分带来的，不能漏掉；它可能引入0点的候选奇点，也可能与化简后的分子消掉，必须看最终表达式。

若积分区间是 或 ，先利用周期与对称性补成整圈，写清倍数。不可不说明就把半周期直接当成单位圆一周。含 的表达式不一定关于 对称，更要实际检查。

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10 教材例1：泊松型积分的两个互为倒数的极点

求

代换并化简：

候选极点是 和 。由于 ，只有 在内。其留数为 ，所以

这题应能不看答案完整重算一次，尤其检查化简时 因子如何抵消。若题设改为 ，内部点交换，结果为 ； 时原积分在 发散，不属于同一普通积分公式。

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11 分子有 cos mθ：先合并成指数，避免凭空增加极点

教材例2求 ， 为正整数。原被积函数关于 对称，半周期积分是全周期的一半。

先计算全周期复积分

分母为 ，只有 在内；解析分子 不会在0引入负幂。去掉外面的 后，留数为 。故 ，为实数。

因此原积分为

全周期正弦部分为0，也可直接由对称性核验。若直接代入 仍能做，但会引入0处高阶项；采用指数法是为了少算这些抵消项。