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01 一个复数为什么带着两个实数
写成 ，其中 都是实数，。 是实部， 是虚部。虚部是 ，不是 。 例如 的虚部是 。
复数相等，要同时比较实部与虚部：
所以一个复方程往往相当于两个实方程。这是以后从复数等式推出柯西—黎曼方程的基础。
实数就是虚部为零的复数；纯虚数通常要求实部为零、虚部不为零。零单独对待。复数之间没有与实数一样、同时兼容加法和乘法的大小次序，因而题里不要写 ；可以写 、。
做题怎么用 题目要求“求实部、虚部”时，目标是整理成 ，并确认 是实数。复数作分母时，先做下一单元的有理化。
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02 四则运算：乘法展开，除法乘共轭
加减按同类项合并。乘法按多项式展开，再用 ：
共轭是 。关键原因是
因此 时
这不是新技巧的堆积，而是把复分母换成正实数。
完整例题 计算 。
分子实部是 ，虚部是 。算完可乘回去检查：。
必须熟练 按四项循环；；分母不能为零。交换律、结合律和分配律照常使用，第一轮无需重新背它们的证明。
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03 共轭为什么能把“实数条件”变成方程
记住三条：
一个数 是实数，当且仅当 。它是纯虚数的条件为 且 。遇到“证明某复数式为实数”，这比直接拆分实虚部经常更省力。
跟着教材例1走一遍 设 、。问 何时是实数？
先把“实数”改成 ，再交叉相乘：
因为虚部不为零，第一因子不为零，故必须有 。反过来代入也成立，因此这是充要条件。这里 是为了保证原式有意义，不能在消分母后忘掉。
实系数多项式为什么有共轭根 若 的系数全为实数，则 。所以 推出 。这是教材例3的全部主线；限制是“实系数”，复系数一般没有此性质。
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04 模不等式：以后估计积分和级数的工具
模是长度， 是两点间距离。最常用的是
第一条说直线距离不超过折线长度；第二条说两条边长的差不超过第三边。还有
证明看懂哪一步就够 展开
根本工具是 。反三角不等式则把 代入第一条，再交换 。
做题的方向感 要给分子上界，用三角不等式；要证明分母远离零，用反三角不等式。例如 时
这是第三章“长大不等式”里找上界的基本动作。
教材第11页的等号表述要细分 对非零 ， 要求同向；而 也要求同向。若换成 ，就应是反向。先看中间到底是加号还是减号，不能笼统说“三点共线就都取等号”。
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05 把复数放到平面上：模、辐角和主值
对应点 ，也对应原点指向该点的向量。非零复数可写成
角度加上 不改变这个点。沿用本书记号： 表示全部辐角， 表示区间 中的主值。
求辐角的可靠顺序 先定位象限，再找参考角，最后调整到指定主值区间。例如 在第三象限，主辐角是 ，不是 ；全部辐角是 。 本身不能辨认象限。 没有辐角。
图 1-1 复平面中的点、共轭与模当前点 (2, 1)，模 2.236，主辐角 0.148π
为什么讲指数形式 加减适合 ；乘除、乘方、开方适合 。换形式是为了减少计算，不是为了把一个答案写三遍。
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06 乘一个复数，就是旋转并缩放
设 、，则
乘 ，逆时针转 ，长度不变。乘 ，先转 ，再把长度乘2。共轭则关于实轴反射。
注意主值 角度相加得到的是一个辐角，未必已经是主辐角。例如两个辐角均为 的数相乘，角度和为 ，但主值应为 。
完整例题 求 。先写 ，再得
这比连续展开八次清楚得多。反过来，计算 时就不要转成极坐标。
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07 方根：先列一般式，再数够全部答案
求 ，写 、。比较模和角：，。所以
这 个根互不相同，均匀分布在半径 的圆上。 再增加 就重复。 只有根0，重数为 。
图 1-2 方根均匀排列在同一个圆上w³=-8；k 从0到2
教材例8的逐步计算 ，模为2，角分别为 ，故全部根为
负实数在复数范围内开三次方，不只有实根 。
平方根的代数方法 若 ，则 、、。由此
最后用 配符号，不能把 的正负独立任取成四个根。例如 的全部值为 。
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08 曲线与集合：先把模翻译成距离
常见翻译如下。
| 复数条件 |
几何意思 |
容易漏的地方 |
|
圆心 、半径 的圆周 |
|
|
开圆盘 |
不含圆周 |
|
两点连线的垂直平分线 |
假设 |
|
焦点为 的椭圆 |
|
|
从 出发的射线 |
不含起点 |
例如教材 的两个焦点是 和 。重点在认出“到两定点的距离之和”，不必先展开根号。若题目真要半轴：长半轴3，焦距一半 ，短半轴 。
距离比的圆 ，先保留 ，再平方：
整理为 。比值为1时则退化为直线 。这类轨迹在第三章两个异号电荷的等势线里会再出现。
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09 代数曲线改写、三角求和和弦距为什么出现
圆的复数方程 把 、、 代入实方程即可。一般式
可配方成
右端正、零、负分别对应真圆、一个点、空集。 时需另看是否为直线。教材这段是训练“同一对象的两种语言”，做轨迹题时有用。
三角求和的统一招数 用 打包正弦与余弦：
化为半角式后，取实部得到余弦和，取虚部得到正弦和。先熟悉有限等比和，比死背两条长三角式有价值。若 ，回原和式直接算，不能除以零。
教材例4的弦距可第二轮看 它定义
这与下一节把平面放到球面上的距离有关。证明主线是把 拆成与 有关的两项，再用三角不等式及 。最后一条可由两边平方、差为 验证。第一轮普通运算和轨迹题无需背这条弦距公式；保留它，是为了说明无穷远点能和有限点放在同一几何模型里，而不是为了增加一个常考公式。