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12 邻域、内点、边界：画一个小圆盘来判断

的 邻域是 ；去心邻域是 ，区别只是是否保留中心。

对集合 ，内点是能找到一个小圆盘完全留在 中的点；外点是能找到小圆盘完全避开 的点；边界点则每一个小圆盘都同时碰到 与其补集。

边界不等于“集合里面的边缘” 的圆周不在 中，却仍然是它的边界。 的圆周既是边界，又属于集合。

全由内点组成的是开集；包含自身全部边界点的是闭集；能装进一个足够大的圆盘里的是有界集。开、闭不是互为否定： 既不开放也不封闭，空集和全平面既开又闭。

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13 区域、单连通和多连通：不是看外形圆不圆

本书把“非空、开、连通”的集合称为区域。连通在这里可用折线连接来理解：集合内任意两点能沿始终留在集合内的折线走到一起。两个分离的圆盘的并是开集，但不是一个区域。

单连通的操作性判断 在区域里任取一条简单闭曲线，它围住的内部也全部留在区域里，则该区域单连通。圆盘、半平面、开扇形、沿一条射线割开的平面都是常见例子。圆环和去心圆盘有洞，是多连通域。

这里“洞”包括删去一个点，不要求洞有面积。 有洞； 的缺口通到无穷远，没有把某个洞完整包住，是单连通的。第三章能否把闭路缩成点、第二章能否选全域连续的对数，都会依赖这个区别。

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14 曲线为什么要带参数和方向

写 ，，就给了一条曲线及其行进顺序。 是起点， 是终点。无自交的曲线称简单曲线；若首尾相同、除端点外不重复，就是简单闭曲线。

最常用的两个参数式是

前者从 走到 ；后者绕圆逆时针一周。把 范围倒过来会改变方向。椭圆可写 ；（）满足 ，但仍要看参数范围决定走哪一支。

为什么讲约当曲线定理 简单闭曲线把平面分成内部和外部，这是说“奇点在曲线里面”的依据。你要会分辨简单闭曲线并读懂内部；不必在本课程第一轮证明这一拓扑定理。第三章开始还会要求曲线分段光滑，以保证积分可以按参数计算。