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03 复极限要求所有路径一致

的意思是： 只要足够接近 ，无论从哪条路径来， 都足够接近 。形式为

与数列极限一样，它等价于实部、虚部这两个二元函数同时趋于相应值。

证明不存在 找两条路径得到不同结果。例如 （），沿实轴取 得1，沿虚轴取 得 ，故 时没有极限。

证明存在 只检查实轴和虚轴远远不够。例 ，在两轴上均为0，但沿 为 。正确证明通常要找对所有方向都有效的估计。例如

有时换极坐标看 后是否仍残留角度依赖，也很有效。

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04 连续：函数值与极限接得上

在 连续要求 已定义，并且 。极限本身不要求 点有值，这两个问题要分开。

多项式全平面连续；有理函数在原分母非零处连续。若原式在某点没有定义，即使约分后能补成连续函数，也要明确说“补定义后连续”。例如 在 无定义，补上值2后才连续。

连续不能推出可导 、 在全平面连续，但它们的复可导性受到更强限制。你可以把连续看成“点没有断开”，把下一节的复可导看成“所有方向的线性变化必须由同一个复数表示”。

无穷远极限 要覆盖模趋无穷的所有方向。 沿正实轴趋无穷、沿负实轴趋零，故在无穷远没有统一极限。不能只拿实变量结论 就推出复变量 。