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本章任务与级数的用途

教材开头说，要讨论解析函数的两种级数展开式，并用它们研究解析函数。

这里的“级数展开”，你先理解成：

把一个函数，写成无穷多个比较简单的项相加。

例如：

左边是一个分式，右边是一串幂。

这样做有什么用？

因为右边把函数的结构摊开了。以后我们能从展开式里直接读出：

• 某一项的系数；
• 函数在某点附近首先出现的是几次幂；
• 一个分母为零的地方，到底能不能补上；
• 第五章计算留数时需要的那个系数。

所以，这章真正要练的是“把函数改写成便于观察和计算的形式”。

但改写之前有个问题：

无穷多个东西相加，究竟能不能得到一个确定的数？

4.1 就在解决这件事。

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复数项级数和部分和

教材中先写：

然后写：

这里没有新的复数运算，就是把一串复数依次相加。

例如：

不过，“一直加下去”还不是一个严格的定义。

我们能实际算的是前面有限项的和：

一般写成：

这叫作部分和。

然后考察：

这一串数最终有没有趋近一个固定的、有限的复数。

如果：

就称原来的级数收敛，它的和就是 。

应当区分下面两个对象：

级数收敛，检查的是 有没有极限。

这是这一定义的核心。

看下面的图。每加一项，部分和就在复平面上走一步。可以调公比和已加项数：

当公比是 时，每一步会转向，而且长度越来越短，部分和趋近一个固定位置。

当公比是 时，部分和依次经过：

一直循环，不能稳定到一个位置。

注意：在有限范围里打转，也可能发散。“没有越跑越远”不等于收敛。

这一段的掌握要求：你要能解释“部分和是什么”“收敛检查谁的极限”。不用背定义原话。

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实部与虚部的收敛判别

因为：

所以：

意思是：

所有实部加在一起，所有虚部加在一起。

一个复数要趋近固定位置，它的横坐标和纵坐标都必须趋近固定数。

因此：

这里的 是“当且仅当”：两个方向都成立。

例如，教材中第 79 页例 1：

拆开以后：

实部收敛，但虚部是发散的调和级数，所以原级数发散。

不能因为“一半收敛”，就认为整个复数级数收敛。

它就像平面上的点：横坐标稳定了，纵坐标还在变化，点仍然没有稳定下来。

做题怎么用：看见实部、虚部能方便拆开时，就用这个定理。通常不需要硬算整个部分和。

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通项趋零的必要条件

教材中写：

为什么？

因为：

如果前后两个部分和都趋近同一个数 ，那么：

它的直观意思是：

如果最后已经快到终点了，每次再迈出去的那一步，必须越来越短。

但是，每一步越来越短，不保证总路程会稳定。

最典型的反例：

通项 ，总和却发散。

如果你忘记它为什么发散，可以这样分组：

其中：

下一组：

后面每一组都至少贡献 ，所以总和无法稳定为有限数。

做题时，正确用法是：

而当你发现 时，还没判断完，必须接着找别的方法。

这一点必须熟练。 后面检查收敛圆周，经常就靠它直接判发散。

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绝对收敛与条件收敛

教材中的定义是：

如果：

收敛，那么称：

绝对收敛。

这里“取模”的作用是，把方向去掉，只保留每一步的长度。

例如：

由于 ，所以：

于是：

收敛，因此原级数绝对收敛。

教材中后面接着给出：

为什么这个条件这么好用？

因为“总共走过的长度有限”，足以保证部分和最终趋近一个位置。你不必依赖不同方向之间的抵消。

但反过来不一定成立。比如：

收敛，而取绝对值以后变成：

发散。

这种“本身收敛，但不绝对收敛”的情形，叫作条件收敛。

因此，看到一道收敛判断题，你至少要分清：

特别注意：

只能说明“不绝对收敛”，不能直接宣布原级数发散。

原级数仍可能通过正负或方向抵消而收敛。

教材这一页还给了一个定理：

它来自：

以及：

这几行为什么要讲？ 它保证了“整体取模”和“拆成实、虚部取绝对值”两种做法能互相对应。

现在掌握到什么程度：会取模、会判断“绝对收敛推出收敛”，并记住反向推不回来。上面几条不等式能看懂即可，不需要单独背一份证明。

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几何级数及其成立范围

教材中讨论：

这一题你必须吃透，因为后面许多展开都靠它。

先求前 项的和：

两边乘 ：

相减：

当 时：

然后才考虑 。

情况 1：。

这时：

所以：

而且：

也收敛，所以这里是绝对收敛。

情况 2：。

这时：

通项连零都不趋近，因此级数发散。

于是得到完整答案：

后续反复使用的是这个模板：

这里的 可以是一整个表达式。

例如：

就有：

公式与成立条件必须一起写。

举个很能暴露错误的例子：如果把 直接代入，就会写成：

这当然不成立。问题出在：你把一个只对 成立的等式，用到了范围外。

展开题中，条件是答案的一部分。

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幂级数的中心与系数

教材写：

先分清三个角色：

和 虽然都用了字母 ，却是不同的东西。

例如：

就是一个幂级数。

它的：

如果固定一个 ，比如 ，就变成：

也就是前面讨论过的普通复数项级数。

所以：

幂级数的特点，是同一个表达式中， 可以取不同值。

某些 代进去收敛，某些 代进去发散。我们现在要找的是：

到底哪些 可以让它收敛？

如果在某个范围内收敛，每个 都对应一个和，这就得到了教材中所说的和函数：

“和函数”只是“把这一串加起来得到的函数”，没有额外神秘的含义。

还有一个容易漏掉的事实：

在中心 ，它一定收敛，和就是 。

因为其余所有含正次幂的项都变成零。

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阿贝尔定理与收敛圆结构

这一页的定理分两条。

第一条：

如果幂级数在某点 收敛，那么在所有比 更靠近中心 的点，都绝对收敛。

写成：

则：

这里比较的是到中心的距离。

例如，中心在 ，已知在 收敛。

由于：

所以整个：

里面都绝对收敛。

它保证了一整块圆形区域，远远超过“实轴上某一段”。

为什么成立？教材下面那一长段证明，核心只有这一步。

已知：

收敛，那么它的通项趋于零，所以这些通项的模有一个共同上界 ：

现在选一个更靠近中心的 ，令：

于是：

右边的：

是收敛的几何级数，所以左边取模后的级数也收敛。

证明完成。

你可以把这个过程理解为：

向圆心靠近以后，第 项多乘了一个 。因为 ，这个因子会越来越小，把它压进一个收敛的几何级数里。

为什么要讲这段证明？

因为它解释了：幂级数的收敛范围为什么由“距离”决定，以及圆内为什么能保证绝对收敛。这正是后面收敛圆的依据。

掌握要求：理解“用 控制通项”的思路。首次学习不必默写教材中整段证明。

定理第二条：

如果在某个点发散，那么比这个点离中心更远的所有点都发散。

原因也很直接：假如外面某点收敛，按第一条，里面这个点就应该绝对收敛，产生矛盾。

但是，同样远的点，不能靠这两条定理互相判断。

这个细节马上就会影响做题。

4.1 / 09 · 第81页

收敛半径的计算

前面说明，幂级数的收敛情况有一个圆形结构。

这个圆的半径，叫作收敛半径，记作 。

当 时：

最重要的是第三行。

收敛半径把“圆内”和“圆外”分开了；圆周上的结论，还没有给你。

另外两种特殊情况：

• ：所有有限的复数 都能使它收敛。
• ：只有中心 收敛。

教材这一页先借助实幂级数解释复幂级数。这段的作用，是把实变量中熟悉的收敛半径推广到复平面。

做本章计算题时，你不必每次再绕回实幂级数。直接使用上面三行结论即可。

收敛半径怎么求？

对：

如果相邻系数的比值可用，并且极限存在：

那么：

这里约定：

教材中还给出根值形式：如果相应极限存在，

同样有：

先优先练比值形式，通常比较好算。

为什么要取倒数？

因为整个通项取模后的相邻比值是：

极限为：

比值小于 1 时收敛，因此要求：

即：

所以半径就是 。

这里有两个做题提醒：

1. 代入公式的是系数 ，别把中心 混进去。
2. 如果系数中有很多零，导致相邻比值没法算，就换方法；不要硬除。例如 ，直接把它看成公比为 的几何级数即可。

4.1 / 10 · 本节应用

收敛圆周上的三种情形

原题的三个级数是：

先看第一个：

于是：

所以：

第二个系数都是 1，显然也是：

第三个：

因此还是：

半径算完了，接着检查圆周 。

第一个：。

在圆周上：

而：

收敛，所以整个圆周上都绝对收敛。

如果你暂时忘了它为什么收敛，可以用：

右边相加会大量抵消，总和有上界。

因此，第一个级数：

第二个：。

在圆周上：

通项不趋于零，所以整个圆周上都发散。

因此：

第三个：。

取圆周上的两个点，就足以完成教材中“举例说明”的要求。

在 ：

发散。

在 ：

是交错调和级数，收敛。

但取模后：

发散，所以这里是条件收敛。

因此，同一个圆周上，已经同时找到了收敛点和发散点。

把下面图中的距离调到 ，切换级数与方向，就能看到这些差别：

以后做题，“求收敛半径”和“讨论完整收敛范围”要分清。 后者可能还需要检查边界；复平面的边界是一整个圆周。

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逐项求导与逐项积分

教材现在讨论：

它告诉你，在收敛圆内部，可以把每一项分别求导：

还可以继续求高阶导数：

这串系数看着长，其实就是普通求导：

这段为什么必须讲？

因为它允许我们从已经知道的展开式，制造新的展开式。教材中习题 2 的第（6）题就直接用它。

从：

两边求导：

再乘 ：

一道展开题就做完了。

你需要学会这种操作：

看见待展开函数与某个熟悉函数存在求导、积分或乘除关系，就从熟悉的展开式出发。

教材中还说可以逐项积分。例如从中心 积到 ：

这里的 只是积分时使用的变量，避免和终点 混淆。

例如：

后面学习对数函数展开时，就会用上这个思路。

现在的掌握要求：

• 会逐项求导、积分；
• 处理正确幂次、系数和求和起点；
• 记住上述操作在收敛圆内部成立。

不要未经检查，就把圆内的操作延伸到圆周上。

4.1 / 12 · 第82页

系数与高阶导数

教材中最后给出：

它说得很快：“在前面的式子里令 即得。”

我们把这一步展开。

先写：

代入 ，所有正次幂都消失：

求一次导：

再代入 ：

求两次导：

代入 ：

所以：

同理：

一般就有：

因此：

原理就是：求 次导，再代入中心，恰好把第 项的系数单独留下。

比它次数低的项，已经被求导求没了；次数高的项，仍含有 ，代入后变成零。

这一段还告诉你：幂级数的和函数在收敛圆内解析。这里“解析”沿用前面的定义，指函数在邻域中具有复导数。

这段为什么要讲？

它是下一节泰勒展开的入口：

但到这里，我们证明的方向是：

如果一个函数已经表示成幂级数，那么它的系数一定由这些导数决定。

下一节要进一步回答：

一个解析函数，是否一定能写成这样的幂级数？能在哪个范围内写？

这就是 4.1 和 4.2 的衔接。

4.1 / 13 · 本节应用

本节掌握标准

暂时以本章习题为标准，下面这些要能独立完成：

1. 分清通项 和部分和 。
2. 会用“通项不趋于零”直接判发散。
3. 分清收敛、绝对收敛、条件收敛。
4. 熟练使用

5. 能从幂级数中认出中心、系数，求收敛半径，并按题目要求检查边界。
6. 会逐项求导、积分，理解

阿贝尔定理和收敛圆结构的证明，先理解关键逻辑，不要求第一次就能复现教材全部文字。 几何级数、收敛半径和适用条件，则必须练到会算。

衔接下一节：本节说明幂级数的和函数在圆内解析，并能由导数恢复系数。下一节反过来证明：解析函数能够展开成这样的幂级数。