4.2 / 01 · 本节应用

泰勒定理与解析条件

第 82 页开头：前节和这一节的区别是什么？

前节最后，我们知道：

如果已经有

那么它在收敛圆内解析，而且

这一节反过来问：

已知一个函数解析，它一定能写成这样的幂级数吗？

答案是：能，在展开中心附近一定能。

这就是泰勒定理：

展开写：

注意这里的前提：

要在 附近解析。

单独知道某个位置的一个导数存在，还不够支撑后面的全部结论。

教材还提到：实变量函数即使有任意阶导数，也未必等于自己的泰勒级数。它是在强调复解析函数的一个强性质。

这句话对做题有什么用？ 它告诉你：在本章的复解析条件下，泰勒展开能真正表示原函数。首次学习不用专门研究实变量反例。

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收敛范围与泰勒定理的证明

教材说：以 为中心，把圆不断扩大，直到圆周碰到函数的奇点。

对于本章常见函数，先把能消掉的因子消掉、把可补的洞补好，再找真正的奇点。于是：

泰勒展开在

中成立。

例如：

只有一个有限奇点 。

• 在 展开：。
• 在 展开：。

同一个函数，换展开中心，展开式和收敛半径都可能改变。

下面可以切换函数与中心。圆心是展开中心，叉号是真正的奇点：

还有一个特别容易误会的例子：

它在整个实轴上都没有分母为零的地方，但在复平面上有：

所以在 点的泰勒展开，收敛半径仍然只有：

不能只在实轴上找奇点。

教材第 83 页的证明，看起来很长，核心可以拆成四步。

第一步：用第三章的柯西积分公式表示函数。

取一个以 为中心、包住 、内部没有奇点的圆周 ：

这里：

• 是我们要计算的点；
• 是在圆周上跑的积分变量。

第二步：把分母配成几何级数。

因为 在圆内， 在圆周上，所以：

因此：

第三步：代回积分，把每个 前面的系数找出来。

得到：

第四步：用柯西高阶导数公式认出系数。

中括号正好等于：

于是得到泰勒展开。

教材中间估计余项的那些不等式，是为了保证上面“积分与无限求和交换”合法。余项被控制为类似：

当 时，这个上界趋于零。

这段证明为什么讲？

它解释了三件事：

• 为什么解析函数确实能展开；
• 为什么系数是导数除以阶乘；
• 为什么证明要求点严格位于圆内。

掌握要求：会讲这四步的逻辑；做普通展开题时，不需要重新写一遍余项估计。

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展开唯一性及其用途

教材接下来讲唯一性。

如果在同一个中心 附近：

那么：

所以：

它对做题有什么用？

你不必每次都求一大堆高阶导数。只要通过合法运算找出了一个成立的幂级数，它就已经是泰勒展开。

例如：

既然已经成立，就不用再计算十次导数确认系数是不是 1。

教材随后把两个方向合在一起：

这里“局部”指在每个点的某个邻域中，不是说整个区域共用一个展开中心。

现在能用这个结论即可，不必把它当作另一套全新定义再背一遍。

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指数与三角函数的基础展开

这三个式子对所有有限复数 都成立，收敛半径是：

你记忆时抓住结构：

• ：所有非负整数次幂；
• ：只有奇次幂；
• ：只有偶次幂；
• 正弦、余弦交替变号；
• 分母是对应幂次的阶乘。

加上前节的：

这四个是后面展开题最常用的出发点。

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非零中心的分式展开

题目说“在 展开”，意味着答案必须按：

排列。

做题的第一步：把展开中心平移到零。

令：

于是：

所以：

提出常数 ：

现在已经配成几何级数：

这里：

因此：

条件来自：

这道题的通用步骤是：

这是必须练熟的计算方法。

比如习题 3（1）：

令 ，则：

因此：

中心不在零的题，先换成 ，通常能让运算清楚很多。

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指数与三角函数的组合展开

直接把两套无穷级数相乘也能做，但教材用了更省事的办法：

所以：

以及：

分别展开：

两式相加除以 2：

由于：

可化为：

两式相减除以 ：

两个展开都在全平面成立。

这道例题要学什么？

要学“把组合函数改写成更容易展开的函数”。

这里还有一个细节： 是复数时，不要直接把 当成 的实部。 教材采用两个等式相加减，才是这里可靠的操作。

其他改写也一样好用。比如习题 2（3）：

于是直接得到：

级数的平方不能把每项直接平方，交叉项不能丢。 用三角恒等式改写，就省去了处理交叉项的麻烦。

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对数函数的展开与分支

教材讨论在 附近、取值满足 的那个解析分支。

第一轮先抓住：

复对数不同分支的值，可能相差 。展开之前，要知道你选择的是哪个分支。

从几何级数出发：

从 到 逐项积分：

所以：

换一下编号：

为什么 ？

因为距离中心 最近的真正障碍在：

其他分支只需要改变常数项：

做题掌握要求：

• 熟记这个展开；
• 知道它可以由几何级数积分得到；
• 题目指定其他分支时，注意常数项；
• 首次学习不必在这里把整个对数分支理论重新展开。

逐项积分还直接解决习题 2 的两道题：

两式都可在全平面理解为相应解析函数的积分；第二式中原点的洞可以补上。

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零点阶数及其判别

假设：

而且 在 附近解析、不是恒等于零。

它的泰勒展开可能是：

也就是说：

那么称：

最直接的读法：

找展开式中第一个系数非零的项，它的幂次就是零点阶数。

例如教材的：

由于：

所以：

第一项是 ，因此：

教材中接着给出两种等价判断。

判断 1：提出完整的零因子。

例如：

括号在 点不为零，因此零点恰好三阶。

判断 2：看导数第一次在哪里不为零。

它与前面的系数公式：

完全一致。

做题时选方便的判断，不必三种都做一遍。

常用模板应熟悉：

为什么零点阶数在这里必须讲？

因为下一节判断极点时，基本上就是：

这部分对做题非常直接。

例如：

分子抵消了两阶，最后只剩二阶极点。

4.2 / 09 · 本节应用

比较系数与递推关系

这直接对应习题 4。

已知：

不必反复求导。两边乘 ：

比较同次幂系数：

• 常数项：；
• 一次项：，所以 ；
• 更高次项：

因此：

前五项就是：

最近的分母零点距离原点：

这类题的套路是：

习题 2（5）的 也可以这样做。设：

代入：

逐次比较系数，得到：

最近的余弦零点为 ，因此收敛半径为 。