第五章 / 5.2.5
杂例：绕点、旋转和平移
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22 教材例5：sinc平方为何要引入一个有极点的辅助函数
求 。原被积函数在0可补连续，没有真正发散；但直接把 闭到上方会指数增长。利用 ，改选
在0附近 ，所以辅助函数有一阶极点，留数为 。这不矛盾：原实积分和辅助复函数可以有不同的奇点结构。
沿上方挖小半圆，把0排除在区域外，闭路内无奇点。完整等式是
大弧上两项 与 都消失。小弧顺时针，贡献 。所以
取实部得到 ，即全轴 sinc 平方积分为 ，半轴为
实部在0可补连续，得到的是普通收敛积分；虚部 在0近似 ，这里只具有对称主值。原书中这一步的复辅助积分应按主值理解，不能把虚部拆成两侧普通广义积分。
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23 同一小弧思路得到狄利克雷积分
对 ，用 并向上绕开0。闭路内无极点，大弧用约当引理，小弧贡献 ，故
虚部 在0可补成 ，在无穷端振荡收敛；它是偶函数。因此
若 ，结果变为 ，可用奇性或闭下半平面推得。 时积分为0，不能从 的公式直接代入极限得到 ；积分与参数极限在这里不能任意交换。
这一例是为原书习题6里的含 正弦积分作准备。不要把 判成0：偶性发生在整个被积函数，不是只看分子 。
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24 教材例6：菲涅耳积分的三角形围道
求 、。选 ，沿三角形 。函数整，闭路积分为0。
图 5-6 二次相位要旋转，高斯平移要用矩形三角形的斜边反向走回原点；旋转让二次振荡变成高斯衰减。
竖边 ，模为 ，故其积分模不超过 。斜边角为 ，写 ，从 走回0，于是
令 ，利用高斯积分 ，得
原实积分的条件收敛可用 后的狄利克雷判别说明。为什么不用普通上半圆？ 在第二象限会增长；必须根据二次相位选方向。此题的核心是让 变成负实数。
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25 教材例7：高斯乘余弦要用平移的矩形
求 的 。先令 ，记 ，把问题归结到 。
图 5-7 高斯余弦积分的矩形围道与上边反向矩形上边与下边关联，而不是直接消失；高斯平移由此产生 e^(-t²)。
对 ，取 沿矩形 积分。两条竖边模均被 控制，趋零。上边反向，且
虚部在对称区间为奇函数，积分为0。因此闭路积分为零给出
由余弦对 的偶性，结果延伸到所有实 ；再回到原变量并除2：
这题没有任何极点，仍然属于复积分方法的应用。保留它，是要训练“辅助边不一定消失，也可以变成目标积分的倍数”。第一轮若考试只考留数半圆模板，可第二轮再熟练矩形构造；正文的推导和用途都应看懂。