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31 对数导数为什么会自动数重数

若 是 的 阶零点，局部写 、。不用真的选全域对数，直接求导相除：

后一项在 附近解析，所以 在这里有一阶极点，留数为 。若 是 的 阶极点，写 ，同样得到留数 。

所以 记录的是零点给正的重数，极点给负的阶数。零点虽然可能三重、四重，在对数导数中都变成一阶极点，但留数分别是3、4，信息没有丢失。

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32 辐角原理的积分版本：得到的是 N-P

设 在 内部亚纯，也就是除孤立极点外解析，并且在边界 上没有零点、也没有极点。对正向简单闭曲线，

其中 是内部零点总重数， 是内部极点总阶数。它直接由上一单元的留数和得到。

三个边界条件 边界不能有零点，否则 在路径上失去定义；边界不能有极点；内部不能有未处理的本性奇点，因为此处定理建立在亚纯函数的零、极点结构上。若题目只给出一个积分值，你得到的是 ，除非已知没有极点，不能立刻把它称为零点数。

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33 几何版本：连续跟踪像曲线绕原点多少圈

当 沿 逆时针走一周， 在另一张平面画出闭曲线，可能自交、也可能绕多圈，但不能穿原点。沿这条曲线连续跟踪辐角，记总变化为 ，则

不是终点主值减起点主值 起点、终点是同一个数，主辐角差当然为0；但连续跟踪的角度可以增加 。例如 ，单位圆在像平面绕原点三周，； 则顺时针两周，变化为 。

教材的几何推导是 。整圈 回到原值，，剩下的就是 。要会解释这个图像，不必把复杂自交像曲线的每一段角度都手工测出来。

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34 教材例子：三角分母的零点位置也要列全

取

内部零点为 ，均一重； 在外。 的全部零点为 ，在半径3内只有0，故分母使0成为四阶极点，分子在那里非零。于是 ，得到

边界上既没有这几个零点，也没有 ，所以可用定理。此题不是求 的留数，而是先把零点、极点数清楚，再求像曲线的净绕圈数。

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35 儒歇定理：边界上一个部分严格压住另一个部分

若 在 及内部解析，且边界上处处满足

则 与 在内部有相同的零点总重数。把复杂函数分成“容易数根的主项”和“小扰动”，就能不求出具体根而数清根数。

证明可以看连续变形 （）：边界上 ，零点不会穿过边界，所以数目保持不变。按教材的辐角证明， 始终在圆 里，绕原点净圈数为0，因此 与 的辐角增量相同。

用在哪，验证在哪 不等式只要求在边界，不必在整个内部成立；但两个函数的解析性要覆盖边界和内部。通常版要求严格小于，若只证出 ，不能直接交卷，需进一步排除等号或换拆法。主项不一定是最高次幂：小圆上常数项或低次幂也可能更大。

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36 教材例1：单位圆上 -5z³ 压住所有其他项

求 在 的零点数。选 ，。在 上

因此 与 有相同的内部零点总重数，为3。这里不是说 在原点有三重根；事实上 。结论只是它在圆内共有3个根，按重数计。

圆环题要两次计数再相减 对 ，在 上 的模为3，其他两项总模至多 ，故小圆内1根。在 上 的模16，大于 ，故大圆内4根。两个边界均无根，因此圆环 内有3根。这与原书习题10对应。

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37 教材例2：代数基本定理在这里证明的用途

对 ，，在足够大的圆上，低次项之和除以 一致趋零，所以最终有 。儒歇定理给大圆内恰有 个零点，按重数计。

还应说明大圆外没有漏根：同一个“首项大于其余项”的估计对所有足够大 都成立，故大圆外 不为零。于是全复平面总共有 个根。这说明以前用过的多项式根数结论可由复分析统一推出。

需要熟背吗 若考试不考定理证明，第一轮能说清“大圆上最高次项压住其余项”即可；具体数根题的选主项、估计和重数才是优先训练内容。保留证明是为了说明儒歇定理不只是计算技巧，也能建立全局结论。