2.4 施图姆—刘维尔理论怎样用于计算

数学物理方法 · 2.4 施图姆—刘维尔理论怎样用于计算

数学物理方程篇·第二章 / 2.4

施图姆—刘维尔理论怎样用于计算

教材245—249页

2.4 · 教材245—249页

变系数、径向坐标、换热边界会给出其他空间方程。原书把时间和空间算子分开，写作 $154$ 。代入 $155$ ，同样能得到两个常微分方程；但空间方程可能是

153

理论的作用是告诉我们：在适当条件下，仍可用特征函数展开，且能用正交投影求系数。不需要每个特征值都能用初等公式表示，数值求根也能继续解题。

本节记号 $156$ 表示展开的权函数，不必是物理密度。看清定义，别因前章用过密度符号就混用单位。

2.4 · 教材245—249页

希望写成

157

对上节方程，取

158

在 $159$ 的设定下，乘原式以 $160$ 就得到 $161$ 。检查 $162$ ，才能确认没有乘错。

若原式为 $163$ ，则权应为 $164$ ，不是一律 $165$ 。允许选择公共正常数倍，不改变系数投影的结果。

原书用 $166$ 表示这里的 $167$ ，用 $168$ 表示权；这里只换 $169$ 以免与波数 $170$ 混淆。 正则问题通常要求 $171$ 在闭区间为正、系数足够连续，加自伴边界。奇异端点需要额外判断，不能把正则结论原封不动推广。

2.4 · 教材245—249页

例一： $174$ ， $175$ 。取 $176$ ，则 $177$ ，于是

172

两特征函数相乘后再乘权，指数恰好消掉，恢复正弦的正交性。若漏权，通常不正交。

例二（原书例2）： $178$ ， $179$ ，两端零。乘 $180$ ，得到 $181$ ，所以 $182$ 、 $183$ 、 $184$ 。再令 $185$ ，方程成为 $186$ ， $187$ 。因此

173

2.4 · 教材245—249页

常见分离边界可写为 $188$ 、 $189$ ， $190$ ，以及D或N端点。符号来自外法向：左负右正。周期边界需要函数及通量匹配；若 $191$ ，可写成 $192$ 、 $193$ 。

径向方程如 $194$ 在 $195$ 是奇异的。圆内的有界性排除 $196$ 或 $197$ ，相当于从物理区域选择允许分支；不是在原点随手再加一个任意的 $198$ 。角向零模态的圆内常数解明明可以非零。

正则理论的离散谱、展开性质很实用；奇异问题要结合具体方程、端点行为和选定函数空间。原书的自然边界介绍在这里先理解成“保留物理允许的分支”，一般奇异谱论可暂缓。本章会给径向例子，下一章再系统学习特殊函数。