数学物理方程篇·第五章学习讲义

5.1 · 教材§5.1，第325—328页

01 整章地图：源、核、积分各做一件事

先想一个最朴素的问题：如果知道一滴墨水在水中怎样散开，能不能预测一整条墨线怎样散开？在线性模型中，可以。把墨线切成许多小段，每段近似一个点源，把它们的影响加起来；小段无限细，就得到积分。

数学上，把观察点写作 ，源点写作 。 表示“在 放一个单位扰动，过了 后，在 测得的响应”。初始分布为 时，小段贡献是 ，于是

这里不是把 当万能黑箱：它必须满足同一个方程以及相应的边界条件。全空间常系数问题的核常只依赖 ，才能简写成卷积。有限区域一般要保留两个空间变量。

做到什么程度： 看到积分要能指出谁是观察点、谁是积分变量、谁是已知数据、谁是核。暂时不用背任何三维积分公式。

5.1 · 教材§5.1，第325—328页

02 为什么“零点以外为零”还不够定义δ

普通函数如果只在一个点非零，通常积分仍是零。单位点质量却要求总质量是1。因此，不能把“，其余为零”当作普通函数的精确定义。真正可用于计算的定义是它对光滑测试函数的作用：

这是抽样性质：把 在源点的值取出来。严格理论中写成 ，测试函数通常取光滑且具有紧支集的函数。你现在只需把δ看成“放进积分后执行抽样的对象”。

用宽度 、高度 的矩形近似：

它的面积始终为1；当 时，。这是积分意义下趋向δ，不是给δ规定一个普通函数的点值。高斯窄峰也能做同一件事。

必须避免： 把δ的“高度”代入常规四则运算、计算 、随意约掉δ。一般分布之间的乘法并没有自动定义。

5.1 · 教材§5.1，第325—328页

03 点质量、点热量、瞬时冲量怎么写

总质量 集中在 ，线密度写成 。因为对任意包含该点的区间积分得到 。集中热量 放进均匀细杆，若横截面积 、密度 、比热 ，温度初值满足

所以

δ前的系数不能只凭“单位点源”四个字猜。先写守恒量，再确定系数。教材把某些热量取为 ，并取单位截面积，才使初温恰为δ。

力在 给物体一个冲量 ，则写 。把 跨过 积分，可得 。δ描述的是有限的总冲量，不能理解成“无限大力持续普通时间”。

做题用途： 把题目中的“集中在一点”“瞬时作用”“总量为某数”翻译成正确的初值或源项。空间δ与时间δ的积分变量不同，不要混用。

5.1 · 教材§5.1，第325—328页

04 抽样前先检查根在哪里

因为源点2在积分区间内部。若改成 ，结果是0。如果根恰落在端点，必须交代端点约定；对称正则化常产生半权重，但这不是所有单边定义都自动遵循的规则。本讲义没有声明约定时，抽样公式均取根严格位于区间内部。

不要漏掉积分测度的单位： 的量纲是长度的倒数，使 无量纲；三维δ的量纲是长度的负三次方。

5.2 · 教材§5.1，第328—331页

05 平移、偶性、卷积单位元

源点从0移到 ，写成 。把 换成 不改变作用，因为δ关于自己的中心对称。与光滑函数相乘时有

证明只需两边乘任意测试函数 后积分，均得到 。这叫分布相等，并不是比较它们每个点的数值。

卷积则给出

第二个式子请自己写成积分验证：。用途： 初值为δ时，卷积公式直接留下核本身；证明初值恢复时，δ把 还原成 。

5.2 · 教材§5.1，第328—331页

06 缩放公式：为什么一定有绝对值

对 ，

换元 后，积分测度提供 。若 ，积分上下限也反向；总量不能变成负数，所以这里必须是绝对值。

更一般地， 在各零点 附近光滑且 ，则

例如

流程： 解根 → 检查哪些根在积分域 → 每根除以导数绝对值 → 代入被抽样函数。 在0处是重根，不能硬套该公式。

5.2 · 教材§5.1，第328—331页

07 δ的导数：负号从分部积分来

导数的定义是

更一般地

它保留了分部积分规则。考试最常见错误是把导数也当成普通抽样，漏掉负号。例如 。

两个重要恒等式：

第二个式子对测试函数 的作用为 。更一般地，

注意区分 和 ：前者是δ导函数在负自变量处的拉回，等于 ；后者还要乘链式法则的 ，所以等于 。

5.2 · 教材§5.1，第328—331页

08 傅里叶表示不是一个普通收敛积分

沿用上一章约定：

那么 ，形式上写作

这个积分不是逐点收敛的普通积分。可以先截断为 ，得到 ，再在测试函数积分意义下取极限。另一种方式是乘上 ，得到归一化高斯，再令 。

为何要讲： 后面把 代入变换后的方程，才有最简单的初值；三维波核中的δ也由这种形式出现。第一轮不要求你证明分布空间中的收敛定理，但必须知道不能随意交换这些振荡积分。

5.3 · 教材§5.1末，第330—334页

09 多维δ先和体积元一起看

二维点源写成 ，三维再乘 。简记 ，其中 是空间点。抽样为

光滑可逆换元 后，在源点 附近有

这和体积元 正好抵消。极坐标且源点 时，可在角坐标的局部图中写

写 也等价，因为δ把它取在 。角变量按周期理解，不能把同一点重复计数。原点没有唯一角坐标，此式不能直接拿 代入；旋转对称的二维原点δ可用径向表示并结合 理解。

5.3 · 教材§5.1末，第330—334页

10 正交展开中，δ把系数积分变成函数值

设边界条件对应的一组实特征函数为 ，范数平方为 。在分布意义下，

你已经会算普通函数的傅里叶系数：。现在令 ，抽样后只剩 。这就是基本解与分离变量法的接头处。

两端温度固定为0用正弦；两端绝热用余弦，并保留常数模态。对区间 ，绝热δ展开为

这里“等于”不能理解为在 逐点求和得到一个普通数。

5.3 · 教材§5.1末，第330—334页

11 教材的中点加热杆，完整走一遍

杆长 ，两端绝热，初温 。空间特征函数为 。常数项系数 ；非零模态系数为 。奇数模态消失，偶数 给出 。所以

这是温度方程 的解。逐项积分，余弦项为0，故总积分始终为1； 后只有 留下。你可以同时检查总热量和最终均温。

必须掌握： 常数项为什么不衰减，δ怎样产生特征系数。无需把这个特定中点公式当成新公式背。

5.3 · 教材§5.1末，第330—334页

12 教材的正弦振荡积分其实是在找延迟

教材例5在 时计算含 的二重积分。核心恒等式是

取 ；在 且 时，第二个δ没有根。余下 ，根为 ，雅可比为 。因此教材前置系数为 的积分，结果就是 。

意义： 不需要硬算振荡积分；它把输入延迟了传播时间 。若 ，根在积分域外，响应为0。交换积分应通过正则化解释，不能把不收敛的普通积分直接用绝对收敛定理处理。

5.4 · 教材§5.2.1，第334—336页

13 先写定义，再分清两个符号约定

设 是常系数线性空间微分算子。它的基本解 满足

于是 的一个特解为 ，因为 。它只保证方程，并不自动满足指定边界；还可能加任意齐次解。因此“求到基本解”不等于“解完任意边值问题”。

本章格林函数沿用教材另一个约定：，配上零狄利克雷边界。请在纸上固定下面这张表：

若别的教材把 当算子或让 ，相应公式会换符号。考试先写定义，比孤立背一个正负号可靠。

5.4 · 教材§5.2.1，第334—336页

14 三维为什么是负的1除以4πr

源点以外应满足 。径向函数满足 ，解为 。取无穷远衰减的形式 ，再对包含原点的小球积分：

因此 。也就是

计算 的拉普拉斯只能得到0，不会看见原点的δ。必须补上小球通量，才能定出源强和符号。这里的小球外法向朝径向外；若在“挖掉小球”的区域上用格林公式，小球内边界的区域外法向反而朝向球心。

5.4 · 教材§5.2.1，第334—336页

15 傅里叶求法：把微分算子换成一个多项式

对全空间方程做空间傅里叶变换，，，所以形式上

逆变换、用球坐标积分，就得到上一单元的结果。这段教材计算要传达的不是三重积分有多长，而是：常系数微分算子在频域中变成乘法，基本解由其符号的倒数产生。

遇到分母的零点时，逆变换的解释可能需要额外条件；不能对所有 都不加说明地写“除完就唯一”。例如亥姆霍兹方程还涉及辐射条件。第一轮掌握频域方程、符号与归一化，球坐标积分的机械步骤可放第二轮。

5.4 · 教材§5.2.1，第334—336页

16 用一个径向源检验符号

求球 内 、 的正则径向解， 为常数。由 ，原点正则排除 项，得到

当 ，内部为正，符合 为正且源积分 为正的直觉。若公式算出整个球内负值，先检查你到底在解 还是 。

5.5 · 教材§5.2.2，第336—341页

17 格林函数比全空间基本解多做了什么

区域为 ，边界为 。对固定源点 ，定义

把它拆成 。第一项负责源点的奇异性； 在整个区域内调和，负责把边界值抵消成0。 的边界值恰为 。

因此，求格林函数是在做一件非常具体的事：保留区域内唯一的单位点源，用一个没有内部新源的修正满足边界。 镜像法就是用区域外的虚拟点源构造这个调和修正。虚拟点源若落进区域，会给方程添上不该有的δ。

5.5 · 教材§5.2.2，第336—341页

18 第二格林公式：只保留本章要用的一行

对足够光滑的 ，散度定理给出

这里 是区域外法向，。令 ，考虑 、。左边成为 ；右边因 ，只留下 。移项得到

这就是本章静态题的主公式。 第一项接收内部源 ；第二项接收给定的边界值 。法向导数对边界积分变量 求，不是随手对观察点 求。

严格证明中， 在源点不光滑，不能直接把它塞进只适用于处处光滑函数的定理。可先挖掉半径 的小球，在剩余区域应用公式，再令 ；也可使用分布理论。为什么讲这一点： 解释“δ从哪里进公式”和内边界符号；第一轮不要求逐行证明极限估计。

5.5 · 教材§5.2.2，第336—341页

19 对称性是静态自伴问题的互易性

同一个狄利克雷拉普拉斯问题满足 。证明主线是对两个源点的格林函数应用第二格林公式：两者都在边界为0，边界项消失；内部两个δ各抽样一次，得到交换点位后的相等。

用处一： 核的表达式虽然长，交换观察点和源点后应不变，可用于验算。用处二： 在表示公式中调换变量时不会换成另一个核。

不要把这个结论扩展为“所有有时间的核都在时间上对称”。因果热核、推迟波核只允许过去影响未来。空间算子若非自伴，也通常要引入伴随核，不能照搬这里的互易性。

5.5 · 教材§5.2.2，第336—341页

20 做格林函数题的四项检查

1. 内部方程：除了真实源点外是否调和；源点强度是否为 。
2. 边界：把每一段边界代入， 是否为0。
3. 位置：所有虚拟源是否都在区域外。
4. 解的条件：外部或无界区域是否还满足要求的衰减、增长或有界性条件。

若边界给的是法向导数，不能直接使用上面的零狄利克雷格林函数公式。在有界纯诺伊曼问题中还存在常数零模态，并需满足通量与源的相容条件。这里强调它，是为了防止你一见“格林函数”就不看边界类型。