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08 从两个方向推导方程，不靠硬背符号

设 在 可导。沿实方向令 ，得

沿虚方向令 ，得

实部、虚部分别比较，于是

这就是柯西—黎曼方程，简称 C-R 方程。第一行同号，第二行带负号；实在忘了，就重走两个方向。

必要性与充分性要分开 复可导必然满足上述方程。但仅有两个偏导等式，未必保证复可导。精确的充分条件是： 在该点作为实二元函数全微分存在，并满足 C-R 方程。课堂题最常用的方便条件是：四个一阶偏导在该点附近存在且在该点连续，再检查方程。

若 为多项式、指数三角组合且无分母异常，这个连续性条件通常自动满足。写解答时用一句话说明即可，不必制造冗长证明。

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09 为什么加上全微分就足够

全微分给出

其中 。代入 C-R 方程，把两式合并成

除以 ，余项的模趋零，就得到 。你需要看懂的关键是“两个实线性式合成了乘一个复数”，不是记忆四行余项记号。

一个防止误用的例子 定义 ，非零处

原点处 、，C-R 成立。但沿实轴差商为1，沿 差商为 ，故不可导。原因正是不能只用“偏导存在并满足方程”替代全微分条件。这是概念校验题，不要求第一轮背函数的构造。

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10 标准计算题的四步：拆、求、解、分清

以 为例，这是教材的主要示范。

1. 拆出 ，两者一阶偏导连续。
2. 求导：。
3. 解 C-R：、，得 和 。
4. 在这两个点可导，导数用 ，分别为0与 。可导点集合没有任何开圆盘，所以处处不解析。

不要省略最后一句 只写“满足 C-R 的点是……”没有完整回答解析性问题。若方程在一个开区域处处成立，且偏导连续，才可说该区域内解析。

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11 恒为常数的证明与极坐标形式

若解析函数 的实部为常数，则 ，由 C-R 得 ；在连通区域上 为同一个常数，故 为常数。虚部恒定同理。

若 恒定，先处理恒等于0的情况；非零时由 求偏导，结合 C-R 得一个行列式为 的齐次方程组，推出 ，所以仍为常数。若 与 都解析，把它们的 C-R 方程并列也会得到所有一阶偏导为零。这里“区域连通”保证各点的常数一致，不能不加解释地在分离集合上套用。

当 、 时，C-R 可写

这是链式法则换坐标的结果。适合对数、幂和由极坐标给出的题；原点不能直接代入含 的式子。第一轮优先熟练直角坐标，极坐标公式知道用途并能查用即可。