2.5 · 教材35—44页
12 指数：实部控制长度，虚部控制角度
定义
所以 ，一个辐角是 。指数全平面解析，导数仍为自身，处处不为零，并满足 。
复指数的新性质是虚周期：
因此求 ，先比较模 得 ，再比较角 。
图 2-3 指数映射把水平坐标变成半径、竖直坐标变成角度eᶻ从不为零，周期为2πi；在无限高竖条上会重复覆盖。
例题 的全部解是 。如果 则无解。不要写成一个主值后就停下。
2.5 · 教材35—44页
13 三角与双曲函数：从指数定义统一处理
复变量没有实三角形，故采用指数定义：
教材的 分别就是 。四个函数均为整函数，导数分别是 。
指数定义立刻给出 、。所以复平面上 、 都没有实变量中的上界1，例如 。
该熟练的恒等式 ，，以及加法公式照常成立。这些是代数恒等式，不是大小估计。 不等于 。
2.5 · 教材35—44页
14 拆实虚部、求模与求零点
由加法公式可得
这两条优先掌握，会用于求值、找实数取值曲线和估计函数模。例如
故 取实数值等价于 ，即 或 。是实轴与若干竖直线，不只是实轴。
零点怎么找 不猜测有没有额外虚根，直接用指数：，所以 。其他三个为
因此 在余弦零点以外解析， 在正弦零点以外解析； 同样排除各自分母零点。找解析域时，“名字像初等函数”不能替代查分母。
2.5 · 教材35—44页
15 对数全部值：把指数方程反过来解
求 ，令 ，比较模、角得到
沿用教材：大写 表示全部值，小写 表示取 的主值。某些其他教材大小写约定相反，做题前以题目约定为准。为避免与实对数混淆，本讲义谈解析分支时也用 。
例题 ，主值为 ；
零没有复对数，因为指数没有零点。即使正实数也有无穷多个复对数，例如 。
主值不能无条件套实对数法则 ，而 。多值对数的乘法公式要按全部可能值的集合来理解；固定主值则可能差 。
2.5 · 教材35—44页
16 对数分支：割开一条射线的目的
当 绕原点一圈，连续跟踪的角度增加 ，对数增加 ，不能回到原数。因此在整个去心平面上不能选一个处处连续、单值的对数。
把非正实轴删掉，规定 ，就得到开域
在 内解析，且 。其他分支 导数相同。也可沿正实轴割开，选 ；分支不唯一，必须写范围。
图 2-4 绕原点一圈，对数增加2πi本书主辐角区间 (-π,π]；解析主分支使用开区间 (-π,π)。
主值存在与主值解析是两回事 按本书约定，负实数可以赋主值角 ，所以 有定义；但从负实轴上下两侧逼近，角度极限为 与 ，主值函数在那里不连续，自然不解析。说“主值函数在负实轴割开的平面解析”时，解析域是严格不含那条轴的开域。
2.5 · 教材35—44页
17 一般幂：先声明用哪个对数
对 ，定义全部值
展开成 后，才判断重复多少次。非零底数时：整数指数单值；既约有理数指数 有 个值；无理实数指数有无穷多个值；虚部非零的复指数也有无穷多个值。
例题 代入 ，得
全部值居然都是正实数。若问主值，才取 得 。
例题 得 。它和第一章方根公式一致。但 不可未经分支说明直接写成 ，例如使用主平方根时 就出问题。
2.5 · 教材35—44页
18 固定分支后的求导与指数记号的区别
在某个有解析对数 的区域内，定义 ，则
也常写成 ，但两边必须采用相容的同一对数分支。
本课程把 固定解释为单值指数函数。一般幂 若不选底数的对数，则可能多值。特别是教材指出：把 当指数函数值，只得一个数；把它当“底数 的一般幂、所有复对数都参与”会得到多个值。这是记号约定的提醒，做题时按上下文选定定义，不要把这两种约定混用。
2.5 · 教材35—44页
19 反三角函数：应会推一种，不必硬背一长表
为解 ，令 ，就把三角方程变成二次方程：
再解指数方程，得全部反正弦值
根号的两个值与对数的无穷多值共同产生全部答案。若根号本身已按全部值理解，就无需再重复写一个独立的正负号。
实际例题 求 。。两者互为倒数，取全部对数得到
实数范围没有解，复数范围有无穷多解。
其他反函数可同样推导：；（）。双曲反函数也转化为对数和根号。第一轮要求掌握代换路线与多值来源；除非作业专门考，不必背下每个反双曲函数公式。这里讲它，是为了防止把复反三角函数误当成实函数主值的一次代入。