6.5 · 教材158—160页上部

20 指数把直角网变成极坐标网

写，则

水平线映为射线，竖直线映为圆或圆弧。水平条带若高度，指数在其中一一，像为的角域；高度等于时是割平面。

导数从不为零，只保证局部无退化；全平面的周期性仍会造成重叠。这是6.1区分局部与整体的第二个标准反例。

对数反过来把射线变为水平线、圆弧变为竖直线。扇域先选连续辐角，再用，就得到水平条带。开角不超过的一一扇域最容易处理。

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21 竖直条带到上半平面：原书例3

给定。指数直接作用在这里通常会因为虚方向无限延伸而重复覆盖；先把条带转成高度的水平条带：

因为，恰好落在。再令，得到

左边界映为正实半轴，右边界映为负实半轴；内部点映成。这是检查方向最省力的办法。

该式也是一一的：旋转伸缩先把原域一一映到高度的条带，指数在该条带一一且覆盖整个上半平面。

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22 月牙域到条带：原书例4

两段圆弧在相交，教材用表示在处相对于正实轴的切线方向，。令

两条圆弧便变成从0出发的射线。由于为负实数，局部旋转，可把像域连续辐角取为

然后选这个分支的，得到高度的条带，再归一化到目标：

这道题的价值是组合路线：两弧域 → 角域 → 条带 → 调整高度。 不必死记的外观；换一个分式线性变换，辐角区间也会改变，必须和你自己的中间域配套。

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23 画一张变换账本，避免复合式越写越乱

每次复合都写四列：当前区域、使用函数、下一步区域、分支或一一性条件。比如透镜域到上半平面：

写完才复合，不要一开始就追求一个长公式。圆弧问题优先分式线性，角域优先幂，条带优先指数，角域到条带优先对数。目标是圆盘时，最后再接凯莱变换。