6.8 原书习题路线与全章速查

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第六章 / 6.8

原书习题路线与全章速查

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34 原书1—4题：导数与几何量

下表说的是原书题号；后面的“练习1—20”是本讲义自编检查题。

原书题号	在练什么	下笔第一步
1	$381$ 在指定点的伸缩与旋转	$382$ ，求模与辐角
2	哪些位置放大、缩小	解 $383$ 与 $384$ ，等号处既不放大也不缩小
3	参数曲线及像曲线的弧长	$385$ ，模后积分
4	面积伸缩与具体面积	雅可比 $386$ ，再确认一一性

原书1的四点可用于自查： $387$ 时系数3、角0； $388$ 时系数 $389$ 、角0； $390$ 时系数6、角 $391$ ； $392$ 时系数12、角 $393$ 。

原书2： $394$ 在 $395$ 放大、 $396$ 缩小，但0处退化； $397$ 在 $398$ 放大、 $399$ 缩小； $400$ 在 $401$ 放大、 $402$ 缩小。

原书4给出的正方形 $403$ 在 $404$ 下是一一的，像面积

380

边界是否包含端点不影响面积数值，但保形区域应看开内部。

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35 原书5—9题：分式线性与归一化

原书题号	主方法	关键检查
5	倒数把过0的相切圆变直线	两条过0圆的像平行；第三条与两线相切，画清取哪侧
6	三点交比，逐小题定函数	注意给定点含 $406$ ；三组像点全部代回
7	上半平面到圆盘、指定 $407$	凯莱变换后用导数方向定旋转
8	圆盘自映射、 $408$	分母 $409$ ，导数方向为0
9	上半平面到下半平面、 $410$	先送到圆盘，再用下半平面的逆变换

原书9可这样具体做。设 $411$ ，用 $412$ ，再令

405

这是圆盘到下半平面的变换， $413$ 映到 $414$ 。在 $415$ 处有 $416$ ，要角 $417$ ，可取 $418$ 。然后应回代确认内部确实在下半平面。这条构造比硬联立四个复系数更容易掌控。

第5题的图没有给圆心和半径，所以不该凭空补出唯一数值图；解题时用相切关系推断“两平行线加一个相切圆”的结构，再选测试点确定原来的曲边三角形落在何处。

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36 原书10：相交两弧与相切两弧要分开

原书10的五个区域都要变到上半平面。先画原域，再判两段边界相交还是相切：

小题	几何结构	建议路线
10(1)： $419$	一条弦加圆弧，交点 $420$	交点送0、 $421$ → 定角域 → 幂
10(2)： $422$	两圆相交，交点 $423$	同上，注意取的是一圆外一圆内的月牙
10(3)： $424$	透镜，交点 $425$	分式线性拉直 → 角宽 $426$ → $427$ 次幂
10(4)： $428$	两圆在2外切，取两圆外部	$429$ → 条带 → 指数
10(5)： $430$	两圆在2内切，取大圆内小圆外	同一倒数 → 条带 → 指数

后两题不能硬找两个不同交点：它们只有一个切点。用 $431$ 反代，圆 $432$ 变成 $433$ ，圆 $434$ 变成 $435$ ，圆 $436$ 变成 $437$ 。

所以10(4)为 $438$ ；10(5)为 $439$ 。再用6.5的竖直条带公式即可。10(4)若把原域视为扩充平面中含 $440$ 的外部区域， $441$ 是普通内点；若只取有限平面原域，则其像条带要去掉0，最终也需去掉一个内点，不能宣称满射整个上半平面。本书这类外域题按含无穷远的扩充区域理解。

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37 原书11：五道复合路线

11(1)扇形 $444$ ：先用 $445$ 变上半单位圆，再接6.4例1变上半平面，最后接凯莱变换到单位圆。

11(2)单位圆到 $446$ ：先 $447$ ，再 $448$ 。它满足 $449$ 时 $450$ ，边界两端 $451$ 对应条带两端无穷远方向。

11(3)第一象限，指定 $452$ 映为 $453$ ：先 $454$ 变上半平面，三点像为 $455$ ；再用实系数分式线性

442

即可。其导数 $456$ ，对上半平面保持到上半平面。

11(4)从中心沿正半径割开的单位圆：先选 $457$ 的平方根，变成上半单位圆；再接上半单位圆到上半平面的变换。原点为裂缝端点，不在开域中。

11(5)第一象限沿 $458$ 割开：先 $459$ ，裂缝变成 $460$ ；再平方得到正轴割平面并额外删去 $461$ ，合起来删去 $462$ ；平移 $463$ ，最后选正轴切口的平方根，

443

得到上半平面。每层在前一层所得区域内一一。形式上写 $464$ 可以，但必须附上这个分支。

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38 全章解题清单与公式速查

题型信号	首选工具	必须补上的条件
求局部旋转伸缩	$465$	点在解析域内且 $466$
给三点对应	交比或零极点形式	三点互异、代回核验
圆或直线的像	保圆性、三个点、反代方程	边界过极点才变直线
半平面与圆盘	凯莱变换、镜像点	测试内点，定旋转因子
两弧相交	交点送0、 $467$ ，再幂	正确内角与连续辐角
两弧相切	切点送 $468$	像为平行线后选条带
角域与条带	幂、对数、指数	角宽、高度、切口与分支
圆周与裂缝	儒可夫斯基或复合平方根	排除互为倒数的同像点
求边界电势	映简单域、配线性常数	本书电势取虚部，逐边验值

交卷前依次看：函数是否解析且导数非零；是否一一；边界点对应是否正确；像域在哪一侧；是否覆盖整个目标；根式、对数分支是否写明；无穷远是内部还是边界；物理边界常数与方向是否正确。