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01 把长推导拆成五个必须完成的任务

面对或，别先背最后答案。按下面五步写：①检查并齐次化边界；②设乘积解；③解空间特征值问题；④叠加允许的模态；⑤代入初始条件求系数。最后把方程、边界、初值逐项检查。

“分离”只产生特殊解；“叠加＋展开”才让它适应一般初始数据。绝大多数初始形状不是一条正弦，所以一个通常不够。

必须掌握的程度： 看到一道题，先圈出方程、区间、两端边界、初始数据。能判断它属于波动、热传导还是稳态问题，才进入计算。

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02 固定端弦：为什么要先假设乘积

原书2.1研究

设非零特殊解，代入得到。在能除的地方，

左边只依赖，右边只依赖，在乘积区域内恒等，只能都是同一个常数。得到

负号是方便的约定，不是证明。 换另一种符号也能做，只要后面一致。某些点为零并不意味着乘积法失效；推导后验证所得函数满足原方程，不能把“除以零”当成额外解。

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03 边界只限制空间因子：必须保留非零解

由，若不是恒零函数，就有。因此先解

这叫特征值问题，教材也称固有值问题。允许非零解的叫特征值，相应叫特征函数。对任何都成立，但它给出的恒零，无法筛选参数，所以必须排除。

“边界条件决定特征值”意味着方程和边界一起决定；只看，任何都有解，还谈不上离散频谱。

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04 把λ的三种符号算一遍，后面才有资格省略

时，，两端为零迫使。

时，。左端得，右端得，仍只剩零解。

时，。左端得；为使，右端要求。于是

在这组正弦里只是零函数，不能当作一个模态。负整数给同一特征函数的倍数，不必重复列出。

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05 四种常见端点组合，别把所有题都写成正弦

下面均指，；D表示，N表示。

表不是凭记忆选的：把代入两个端点，一两行就可重建。N—N的常数模态对绝热杆平均温度、自由端弦整体平移都很重要，不能丢掉。