数学物理方程篇·第二章 / 2.5
正交性零模态与展开条件
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21 正交性的证明只抓住一个消去动作
设满足。把第式乘，第式乘，相减并积分，得到
自伴边界使右边为零。若，便有。同一特征值下多个独立函数不由这一步自动正交；例如圆周的需要另外选正交基。
为什么讲证明： 它直接告诉你权从哪里来、为什么边界需要相同、为什么不同特征值的项能在积分中消失。掌握“交叉相乘、相减、分部积分、边界项为零”即可，不要求背每行下标。
图 P2-10 乘权以后才得到互不干扰的正交投影只有特征函数模平方恰好等于l/2时，通用系数公式才化成2/l乘积分。
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22 非负性有条件，零特征值要单独处理
方程乘后积分：
若、，边界是D、N或具有上述非负换热系数的Robin条件，则右边非负。Robin边界贡献为。所以。
若，所有非负项均为零。故为常数；要有非零常数，须，并且没有迫使常数为零的D端点或正Robin系数。N—N或合适周期边界常有零模态。
“一切施图姆—刘维尔特征值都非负”是错误的。 若为负或边界系数改变符号，可能有负特征值。本章物理题的非负性来自这些具体假设。
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23 通用系数公式与两类时间演化
定义带权内积、模平方。展开系数为
若空间算子满足，则的正特征值模态为；的模态为。
时，波动时间方程是，解为；热方程是，解为常数。含的公式不能直接代零；必须回到时间方程。
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24 原书Neumann例题：在负l到l上不要漏一半频率
对、、，最简写法是平移到：
其中给常数。若只写，会漏掉在对称区间上的奇函数模态。教材用行列式算出相同结果，提醒我们区间长度是，不能看到字母就套长度的频率。
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25 完备性与收敛：知道用途即可，别在这里卡死
正交只说明不同模态互不干扰，完备才保证它们足够表示所需数据。正则自伴问题有离散实特征值，特征函数可组成适合的完备系统。通常至少可在带权平方可积意义下理解展开；要逐点、一致或逐项求导，则需额外光滑性与边界相容条件。
原书给出较光滑且满足边界条件的函数展开情形；你做题应明确正在使用哪一级结论。不能把一般函数的展开都说成一致收敛，也不能从“展开成立”立刻推出任意次数逐项求导合法。
第一轮的掌握线： 会识别权、算模平方、求系数、处理零模态，并对明显的端点不相容作说明。谱定理的完整证明暂缓，因为它不是本章基本计算题的必要步骤。