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07 四个系数，为什么只有三个自由度

分式线性变换，也叫莫比乌斯变换，写成

四个系数同时乘同一个非零数，函数不变，所以只有三个复参数的自由度。行列式条件保证变换不退化成常数。

若，极点是，且。若，就是整线性变换，。反解时把收集成

因此反变换也是同类函数。有限普通点处

做题要达到： 看见分式后能立刻找零点、极点、无穷远的像，能反解，能检查是否退化。

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08 为什么它保形：把复杂式子拆成简单动作

时，将式子整理为

从右往左读动作：先平移，再取倒数，再乘非零常数，最后平移。每个动作都是扩充复平面上的一一保形变换，所以复合仍然保形。这个拆法也解释了为什么它们的复合仍属于分式线性变换。

这里讲证明的用途是帮你构造变换，尤其是“先把某个边界点送到无穷远，把圆拉成直线”。第一轮需要会拆分、会用，不必背四个系数的所有中间代数。

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09 保圆性中的“圆”包含直线

圆与直线统一写成广义圆方程

非退化时；对应直线，对应通常的圆。代入并乘，得到

仍是同一种方程。平移、旋转、伸缩显然也保持广义圆，所以分式线性变换把广义圆变成广义圆。

最有用的判据：原边界含有变换的极点，像边界就通过无穷远，因此是一条直线。 否则像为通常的圆。保圆性只管边界的形状，暂时不管圆内、圆外。

实际求像边界有两种方法：选原边界三个点算像，以三个像点确定圆或直线；或者把反变换代回边界方程。前者快，后者方便精确写出圆心与半径。

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10 圆对称：一个公式解决“另一个点在哪里”

关于直线的对称就是镜面对称。关于圆，对称点满足“同一条从圆心发出的射线、距离乘积为”。写成公式是

圆心与互为对称，圆周上的点与自己对称。单位圆的公式尤其常用：。这里有共轭！ 它与儒可夫斯基变换里出现的代数倒数不是同一概念。

教材先证明：过一对对称点的广义圆，与给定圆正交；再利用保圆、保角把正交性送到像平面，得到“对称点映成关于像圆的对称点”。这就是保对称性。

为什么需要讲这段几何证明？因为当你知道某点映成0，便能通过对称关系快速定位映成的点，构造圆盘自映射和同心圆环映射。第一轮会用公式和结论即可；切线幂定理那一步属于证明细节。

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11 三点确定一个变换：按固定次序写交比

给定互不相同的与互不相同的，唯一的分式线性变换由

确定。别靠记忆随意交换其中一对：左右必须采用同一顺序。该式把第一点变为0、第二点变为、第三点变为1，左右于是是同一个标准化坐标。

含时应取极限。例如时右边的最后一个比值趋于1；不是把每个出现的因子都当普通数删除。

若只规定，直接设

再用第三点定，通常比代四个系数省事。若要求，则

检验习惯：每次都把三个指定点代回去。 这比重新检查交比的代数可靠。