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12 边界算完以后，用一个内部点定侧

分式线性变换在扩充平面上一一对应，一条广义圆将球面分成两侧，映射把每一侧完整送到像圆的一侧。因此：先求边界，再选原域内部的一个点，看其像位于哪边。

也可以用有向边界：沿正向边界走时原域在左侧，像域仍在像边界的左侧。但图上容易看错，初学时内部测试点更稳妥。

教材例2的变换为

当实数时，分子分母的模都等于，所以实轴变成单位圆。原域是下半平面，它包含极点，其像为，所以像域是单位圆外部。若只在普通平面书写，应说明极点处不取有限值；在扩充平面中外部包含。

对一般解析函数，“边界加一个点”不自动证明满射与一一性；这里能这样做，是因为分式线性变换已有全局一一性定理。后面的幂函数、指数函数要先限制定义域。

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13 上半平面到单位圆：从距离关系看公式

取，，则

把上半平面一一映到单位圆内，且。原因很直观：上半平面的点到比到下方镜像点更近。代数上，

边界实轴两段距离相等，像在单位圆上。只转动目标圆盘，不改变模。若题目再给导数旋转角，就用它定。

特别常见的凯莱变换是

在处，局部旋转角为，伸缩系数为。本章原书习题7正是这类归一化问题。

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14 圆盘自映射：原书例3完整推导

要把变到，并把指定点送到0。单位圆关于的对称点为；0关于目标单位圆的对称点为。由保对称性，极点必须在。于是整理成

当时公式直接变成旋转，不用单独操作“无穷远极点”。圆周上，所以前面的常数必须模为1。

不仅边界正确，内外也能直接核对：

在处求导：

分母是正实数，因此指定的旋转角就是。原书要求角度时，取，得到。不要误把写成。

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15 偏心圆环变同心圆环：原书例4

两条圆为与。前者位于后者内部，原域取两圆之间。希望变成以0为中心、外半径1的圆环。

设原像分别映成0与。因为0、关于任意同心圆对称，所以必须同时关于原来的两个圆对称。圆心都在实轴上，可求实的：

设，两式化成、，得到，故为。

先设，则。0在小圆内，因此小圆的内部被送到无界一侧，小圆周对应目标外圆。用小圆上的定模：

可取

大圆上的映成模，所以像域为。交换0、的原像，则得到另一族

仍映成同一个半径比的圆环，但两条原边界的对应交换。这里不要求背数字；要会“共同对称点 → 零极点 → 定比例 → 判两条边界”。