7.1 · 教材169—172页

01 本函数、像函数，先认清两边的变量

拉普拉斯变换定义为

叫本函数，叫像函数。是时间等实变量，是变换后的复变量；不是换个字母，而是把整段时间行为通过积分编码后的新函数。

本书采用单边变换：只积分。讨论因果信号时把部分延为0，并用

表示单位阶跃。后面常把“时的1”和简写成同一对本函数，但遇到延迟时必须重新写清开关。

单个点的取值不会改变通常的积分，所以约定取1或都不影响普通拉氏变换；初值公式用的是右极限，不是随意指定的孤立点值。

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02 为什么要乘指数：先压住增长，再累积信息

把核分开：

负责衰减，负责振荡。即使本来增长或一直振荡，只要衰减足够强，乘积也可能可积。

例如，若为复常数，乘核后是。绝对值为，所以准确的收敛域是。

别把“能写出一个代数式”与“积分在此处收敛”混为一谈。 在很多点有意义，但作为的拉氏积分，仅在指定右半平面成立。超出那里可以讨论解析延拓，却不能再直接声称原积分收敛。

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03 存在定理：条件是充分的，不是所有函数的准入名单

教材采用“每个有限区间逐段光滑”和“指数增长型”作为方便的充分条件。后者指存在使充分大的满足；若从0到有限时间也有界，可调整写成对全部成立。

对，

因此在绝对收敛。每个更靠右的闭半平面都能用同一衰减函数控制尾积分，进一步得到在右半平面解析。

解题要掌握： 会写这一行比较估计，知道右半平面为什么出现，并在结果旁标收敛条件。证明“一致收敛推出解析”的完整技术可以第二轮再读；它的作用是保证后面对求导、移积分线等运算有根据。

这不是必要条件。例如在0附近无界，仍局部可积，有拉氏变换；在无穷远增长快于任何固定指数，对任何有限实部，正实积分都发散。不要用定理条件不满足就直接断言不存在，要检查实际积分。

当实数时，上式也给出。这个结论针对这里的普通函数；冲激的变换为1，属于广义函数范围，不能拿来反驳该结论。

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04 和傅里叶变换是什么关系，为什么要讲

令。固定一个足够大的，则

所以沿一条竖线看拉氏变换，就是看“乘过衰减权重的因果函数”的傅里叶变换。它解释了为什么常数、正弦等虽不绝对可积，仍然可以有拉氏变换，也解释了7.6反演公式为什么沿竖线积分。

掌握边界： 不会傅里叶变换也能先做本章的大多数计算题。此段保留是为了理解反演的来源；第一轮记住“加权以后做傅里叶，最后把权重还原”即可。

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05 从定义算指数、常数和幂函数

在时，

取得，。反过来读就是，默认，因果延拓时乘。

对非负整数，反复分部积分可得

更一般地，对实数，

在右半平面取连续对数定义。对实数，换元立刻得到伽马积分；对复可以用解析延拓论证，不能把复数换元后仍沿正实轴积分而不说明路径。

，，因此、。第一轮会用这两个值即可，不必先学完伽马函数理论。