第七章 / 7.3
本函数微积分与初值方程
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12 本函数微分法：初始条件从边界项进入
若足够光滑、无内部跳跃，且满足相应可积增长条件，分部积分得
上端为0靠的是足够大的与增长估计；下端留下。再用一次，得到
一般阶为
普通导数公式不能无条件跨过跳跃点。 若在内部有跳跃，分段求导会丢掉跳跃贡献；应分段计算边界项，或把导数按含冲激的广义导数处理。后面的阶跃与冲激会让这个区别更直观。
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13 原书例2：一阶初值问题完整走一遍
题为。设，先变换每一项：
解代数方程：
逐项逆变换，得。最后检查：；。
这个方法自动处理初值，不需要先求通解再定常数。但初值若不是0，绝不能因为流程看起来简洁而漏掉它。
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14 原书例3：二阶初值问题
。代入二阶导数公式：
所以。检查，且。
如果初值变成，左边应是，所以解多出。先把这一行写对，后面的代数就不会把自由响应漏掉。
图 7-5 初值问题经过变换、代数求解、逆变换，再代回检验变换把导数和初值一并代数化，逆变换给出特定初值解。
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15 本函数积分：累积一次，像端除以$p$
记。因为，由微分公式得到
再累积一次就是。这也等于与常数1卷积，后面会统一解释。
例如。不需要先把时间积分算完再变换；识别累积结构能直接省一步。
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16 原书例4：积分方程与RC电路
原式为
右边是的恒定电压，变换为，不是。设：
所以。代回可得；随时间增大电流衰减，积分电荷逐步承担电压。
物理描述保留的用途是帮助检查符号和时间尺度：指数必须衰减，时间常数是。只考运算题时不必深究电路推导，但应知道为什么常数输入变成。