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34 附表7.1的16条法则，哪些必须熟练

表10的安全写法：当在0附近可积，且交换积分合法时，对实数足够大，

因为。对复可在收敛域中作相应路径延拓。例：

先在实数上推，再按右半平面解析分支理解。取则在0不可积，不能套成。

组合式也能直接推：若，，

先看缩放，再看乘指数，两步写清比强记整行可靠。

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35 附表7.2前30项：按分母结构找，不逐行死背

原表26可先理解为一个可检验的有限多项式对：

把有限和逐项变换，用二项式定理就得到结果，不必先研究其微分方程。

对于，不必硬背四行。令，由复频率可推

再对时间求导或对求导，可生成相关条目；最稳妥的备选仍是分解极点。对则用三角与双曲函数的和差，基本因子已全部认识。

分数幂例子：

根式差为

右边每支根都在足够右的半平面取与正实方向相容的分支。左边两项相减后0附近才可积，不能把两个各自发散的普通积分分开算。

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36 冲激及其导数：为什么像函数可以是常数或多项式

附表31—34涉及。它不是一个“除了0都为0、0处等于无穷”的普通函数，准确理解是对测试函数的取样规则：

按单边因果约定，；时。导数按定义，所以

这里0处的冲激采用完整因果权重约定；不要混用“对称分布在半轴积分只取一半”的另一种约定。

这段为何要学？当像函数不是严格真分式，做多项式除法出现常数、等项，逆变换可能含冲激，不能用普通连续函数硬配。例如，逆变换是。

若本轮只做原书普通函数题，冲激的分布理论可以暂缓，但应认识表中符号，知道它与普通函数存在定理使用的范围不同。

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37 误差函数和扩散核：附表35—45、53—57

记。它们的区别直接影响衰减方向，查表时必须看清是否有补余号。

对，三个常用对为

第一对是扩散方程经常出现的高斯核；对参数求导可得第二对；时间积分或对积分可联系第三对。这里是，不是，所以它不是固定时刻的简单延迟。

附表38—39还涉及、与补误差函数；40—43是含指数的振荡核；44—45属于乘三角函数。它们都由高斯积分、复参数或已知变换组合产生，第一轮会找表、核对变量位置即可，不必逐条背诵。

判断表式时有一个可直接推导的可靠版本：

所有根式选右半平面分支。它们能避免把表中两种根式外形误配成同一个余弦函数。

附表53就是前面已推的。另外两条容易误读的式子应为

若写成，大时会出现不相符的指数增长。用极限和收敛域检查，比单看扫描字形更可靠。附表57则是

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38 贝塞尔函数和积分函数：附表46—52、58—62

原表46—52涉及。它们是后续特殊函数部分的内容，这里只需认识为“有名称、可查表的本函数”，不必为完成本章的有理函数题先学完整个贝塞尔理论。

一个常用基础对是

根式分别选在足够右的半平面上趋近的分支。对，常用的一般式为

第一式在适当右半平面成立，第二式对实可取。要注意一族对应减号根式，不能把同一行中的两个根式取成互不一致的符号。更复杂的、及带的条目，只需按题目匹配本函数结构，后续再学其来源。

表末几项使用

以及指数积分。常见对有

，其变换是。此外，

这是原表62同一关系交换后的写法。先在实参数与足够大的实验证符号，再取右半平面的解析对数。积分的两项在0处相消，切勿拆成两个发散积分。

这部分第一轮的必要程度是：认识函数名、懂它来自某个积分或方程、会查配对和条件。后续若研究扩散、圆柱坐标问题，这些表项才会成为常用工具；现在无需把62项全部背下。