第七章 / 7.5
卷积定理与积分方程
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22 卷积：每个过去时刻的贡献累加到现在
两个因果函数的卷积定义为
遍历过去时刻，给出当时输入，给出经过时间后的作用，把这些乘积累加起来。这是系统响应的基本结构。
卷积不是逐点乘积。 通常；正确关系是。
通过换元可证交换律，在适当可积条件下还有结合律、分配律。做计算时先选让积分更简单的写法，尤其是一个函数为1或指数时。
图 7-9 卷积通过重叠长度累积；矩形卷积成为三角形当前t=0.6，重叠区间[0.00,0.60]，卷积值0.60。
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23 卷积定理为什么成立：换积分次序
把定义代入：
积分区域是。交换次序，先从0到，再从到；令，被积函数分裂成
在绝对收敛保证下，二重积分变成两个积分的乘积：
为什么要保留这段证明？它能让你识别积分方程中的卷积，知道积分上下限为何是0和，以及为什么乘积的逆变换不能直接写成。第一轮会画积分区域、会分离变量即可，增长估计的全部细节可第二轮补。
图 7-10 交换积分次序后，三角区域变成两个独立的非负变量原三角区域在换元后成为第一象限；绝对可积保证交换次序合法。
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24 原书例7：误差函数从卷积自然出现
求，。先拆成三个因子：
已知逆变换分别为常数、与。用卷积：
令，得到
这两个显示公式里的系数都与后面的积分相乘。误差函数就是高斯积分的一种命名，不是突然增加了一种运算。第一轮知道定义、能认出这个逆变换即可，不必手算误差函数的小数值。
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25 乘积的逆变换，能用部分分式也能用卷积
例如
时积分为；时退化为。前者可以部分分式，后者是重极点。不要把的公式直接在分母为0时硬代。
若，则
这就是卷积积分方程的代数化。求完仍需逆变换，并代回初始时刻与原式检查。
原书习题9写作，于是
把含的项收集到左侧，解得。令，在下，
耦合常数改变振动频率，这就是保留此例的物理意义。