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11 傅里叶定律：负号把热流指向低温

令为温度，热流密度向量为

沿单位法向向外流出的热量密度为。温度梯度指向升温方向，热流沿相反方向。

例如一维表示左热右冷，，热向右流。负号不是装饰，边界条件的符号也由它决定。

注意为导热系数，不是热扩散率；热扩散率还要除以体积热容量。

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12 热平衡：净流入加热源，等于储热增加

取体积微元。沿方向的净流入约为，另两个方向同理。若体积热源密度为，产生热量。

温度变化储存的热量为。守恒给出

常量假设下是这个形式；若随位置变化，应写，不能漏掉系数梯度产生的项。

原书用长方体的六个面逐一相减，是对散度形式的具体展开。讲这段的用途是帮你给源项除对系数，并判断正热源应使温度上升；第一轮会重建守恒等式即可。

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13 一维杆不等于热量只能存在于一根数学直线上

均匀细杆沿放置，若每个横截面内温度近似相同，侧表面绝热，便可令，得到

如果截面积为常数，它在传热量、热源总量与储热量中都出现，最后约掉。若截面积变化，则应保留

若侧表面向环境温度散热，单位长度散热量为，其中为截面周长，则再加损失项。只有“侧表面绝热”时才能把它省掉。

这段会直接用在建模题。题目说的“均匀、细杆、侧面绝热、无热源”分别对应不同简化，不应把四句话都当背景略过。

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14 扩散方程：把热量换成物质守恒

浓度的物质通量服从菲克定律。无源时守恒为，所以

常数时就是。有生成或消耗过程时再加相应源项。

和热传导的共同结构是“通量沿梯度反向＋局部守恒”，因此同一套解法可以用于温度、浓度等不同物理量。第一轮不必另背一套扩散推导。

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15 稳态泊松方程与高斯形状的扩散

热平衡若进入稳态，，则

无热源才是；有源的稳态仍可不是调和函数。泊松右端的负号来自把源项移到另一边。

一维热方程的基本高斯核为

随时间增大，峰降低、宽度增大，而全直线积分保持1。这个图帮助区分扩散与不变形行波。原书习题3要求验证一个与它相差常数因子的高斯解；本章先认识、会验证，卷积求一般初值的系统方法以后再学。