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26 从两个任意函数，解出给定初值

全直线齐次波动初值问题为、、。先写

在代入：

第二式积分后与第一式联立，可解出；两个积分常数在它们相加时抵消。最终

这就是达朗贝尔公式。第一项来自初位移，第二项来自初速度；不必每题重做求，但应能从这两条初值方程推回公式。

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27 公式怎么用：先分位移和速度两项

例：，。位移项是

速度项为，所以。检查，且。

若初速度为0，初位移的形状等分为两个幅度为一半、向相反方向传播的波；若初位移为0，不能只说“分成两个原图”，还要按积分计算速度产生的位移。

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28 依赖区间与有限传播速度

从公式可看出处的解只需要初始区间上的数据。该区间之外修改初值，在这一时刻还不能影响该点。

这就是有限传播速度。沿、的两族直线是特征线，时空图中的三角形就是依赖域。

适用范围必须记： 公式直接针对全直线初值问题。有限弦有端点，波到达端点后发生反射；若不先作正确延拓或处理边界，不能把同一个公式无条件用于所有时间。

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29 验证公式：不只要有结果，还要确实满足条件

当时，对公式求导。积分端点依赖，因此

再求一次时间导数，与比较，恰好相等。时积分区间缩为一点，直接得到、。

原书把求解分为分析、验证、解释三步：先构造候选函数，再说明可微且满足方程条件，最后解释左右行波。第一轮不必每题写满所有导数，但遇到不光滑数据就必须知道经典验证在哪一步失效。

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30 星号广义解：折角还在，波仍然有意义

三角形初位移在顶点有折角，可能没有连续二阶导数，达朗贝尔表达式却仍能算出连续的传播图。

原书的做法是把连续初值用更光滑的一致逼近，得到经典解。利用1.6的稳定估计，在有限的相关时空区域，一致趋于同一个由公式给出的，把这个极限叫本章连续函数类中的广义解。

这不表示极限函数突然有了处处二阶偏导数。它说明可通过平滑近似得到稳定的物理波形；也可进一步用分布或弱积分公式刻画，但本章不要求建立整套理论。

为什么要讲？因为原书拨弦题的三角初位移正好不处处光滑。第一轮需要知道“分段或折角数据仍可用适当广义解释”，不必背逼近定理的完整证明。