数学物理方程篇·第一章 / 1.5
初始边界条件与定解问题
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18 泛定方程加条件，才是一个具体问题
偏微分方程刻画一般规律，本书也叫泛定方程。许多函数能满足同一方程；再给出初始、边界等条件，才构成定解问题。
无界全空间的初值问题通常没有有限位置的边界；有限区间还要约束端点。空间区域必须写清，不能只写一个PDE和几个零。
对波动方程，需要位移和速度两条初值；对热方程，通常只给温度。
热方程的初始时间导数不是可随便再加的独立数据： 若要求足够光滑，方程已决定。
图 P1-6 初值在底边给，边界在两侧给底边给位移与速度；左右边另约束有限区域端点，这些数据共同确定问题。
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19 三类边界条件，按“给的是哪种量”判断
用外单位法向，
统一描述线性边界条件。
| 类型 |
典型形式 |
热学含义 |
| 第一类 Dirichlet |
|
给定边界温度 |
| 第二类 Neumann |
|
给定通量，经过导热系数换算 |
| 第三类 Robin |
|
与环境换热 |
齐次边界条件指规范写法的右端为0。温度固定为100是第一类非齐次，不因它“不随时间变化”就成为齐次。
空间边界的不同部分可以采用不同类型。“混合问题”在本章主要指同时有初始与边界条件，也可能遇到边界类型混用；阅读题目时直接写清各处条件，不依赖一个词猜含义。
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20 外法向导数：左端负，右端正
区间，左端朝外是负向，右端朝外是正向，所以
给定向外热流密度时，
若题目说左右端分别以正热流密度流入，向外通量分别为，故
同样叫“向内输入正热量”，左右端写出的符号相反。 先画外法向，再写，比背左右符号可靠。
图 P1-7 相同的向内正热流，在左右端对应相反的ux符号左端外法向为负x，右端为正x；左右端同为流入正热量，空间导数符号却相反。
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21 牛顿冷却定律怎样变成第三类条件
边界温度与环境温度不同时，向外热流为。与傅里叶定律合并：
左端为
右端为。如果某端绝热，条件是该端，而不是；绝热端仍可以很热。
看物理方向检验：若杆端比环境热，，必须有。正负号不符合时，先查外法向的选取。
图 P1-8 同一个换热规律，左端负ux，右端正ux外法向形式完全一致；换成坐标导数u_x时才出现左负右正。
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22 原书槽形导体与无限长条的例题
长方体内部无电荷，区域。侧面和底面接地，顶盖电势为，则
再补四个侧面与上。顶盖与接地侧面接缝绝缘；若边缘给值不一致，可按各开面边界极限理解，不能强求同一点同时等于两个不同数。
如果导体沿无限长，几何和边界数据均与无关，选取有界、物理上相容的平移不变解，就能降为二维矩形域：
面给，另外三边给0。只说“很长”还不足以在所有位置忽略端部，要结合离端部足够远的近似或无限长理想化。
图 P1-9 槽形导体：顶盖给电势，另外五面接地五面接地、一面给电势；原题顶盖接缝绝缘，允许开面上的极限数据不在每个棱角连续相容。
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23 原书细杆混合问题：把每一句话用到
长为、均匀细杆，侧面绝热，内部热源密度，初温；左端与温度的介质交换热量，右端绝热。完整问题是
依次检查：体内有没有源；侧面是否漏热；初温是否给定；左右端各是什么边界；左端法向负号是否保留。
若要求一直光滑到的角点，初温还应与边界在初始时刻相容。例如、。实际突变加热时可能没有这种高光滑性，仍可在讨论较弱意义的解。