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31 有限叠加：方程和条件都要一起叠加

若，，都为线性算子，则

所以齐次问题的解可以任意线性组合；同一个非齐次问题的两个解相加，右端会加倍，通常不再是原问题的解。两个非齐次解之差满足齐次方程和齐次条件。

这条原理不只管PDE，还管初值、边界：固定初位移为时，把两个解相加初位移会变成。做题时应写明每个子问题分担哪一份数据。

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32 无穷叠加与积分叠加：为什么不能想加就加

后面的分离变量法会出现。若要把移到求和号内，必须保证相应偏导级数具有合适的收敛性；只有函数级数收敛，不自动保证可以逐项求二阶导。

连续参数的叠加同理：若只作用在变量上，且交换微分与参数积分合法，

这就是把离散的“很多个小响应相加”变成积分。第一轮要理解交换运算需要条件，实际计算先用教材允许的光滑、收敛情形；不必为每道入门题重证分析定理。

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33 原书泊松例题：先找一个特解

求。右端是二次多项式，二阶求导会降低次数，所以试四次多项式

代入得，比较系数可取

令，便有。因此一般写成“这个特解＋任意调和函数”。在合适的单连通二维区域，实调和函数可写成某个解析函数的实部；局部也可用解析、反解析部分表达。

这里不要把任意复变量函数都当作解析函数，直接断言一定调和；需满足相应解析性要求。第一轮用“任意调和”最清楚。

如果原问题还给了边界，新边界是，不一定为0。把方程齐次化，不等于把全部条件都齐次化。

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34 波动方程的齐次化：把连续外力分成每一刻的冲量

考虑零初值问题

其中只作用在空间变量上。固定一个过去时刻，令在满足

每一刻的外力作为一次初速度输入，再把全部过去时刻的响应相加：

这叫齐次化原理，也常称杜阿梅尔原理或冲量原理。这里的是过去时间参数，才是当前时间，求导数时不要混成对求导。

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35 证明的关键：上限项为何第一次为零、第二次给源

含变上限积分的求导法则给出

由于每个辅助问题的初位移为0，。再求一次：

同时时两个积分长度为0，初值都为0。这两条端点性质就是证明核心。

若把辅助问题的初速度也设为0，第二次求导就不能产生源项，构造会失败。为什么必须记这个证明？它能避免把波动与热方程的齐次化初值放错位置。

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36 原书受迫弦例题与总公式

对全直线，用达朗贝尔公式解辅助问题：

所以零初值受迫解为

若还有初位移、初速度，再加齐次初值解：

源点也只能从过去的依赖三角形内影响当前点。最简单检验是常数源：内积分长度，得到，与无空间变化时一致。

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37 热方程的齐次化：源放在辅助问题的初温

零初温问题，固定后解

再令，求一次导数就得到

对照波动：波动是二阶时间方程，把源放初速度；热方程是一阶，把源放初温。两者的积分结构相似，但辅助初值不同。

本章定理在全空间、空间算子不随时间变化的框架下陈述；在合适有界区域也可配相同齐次边界使用。若边界本身非齐次，还要先分担或消去边界数据，不能只消源就宣布全部问题已齐次。