1.2 典型方程与弦振动模型

数学物理方法 · 1.2 典型方程与弦振动模型

数学物理方程篇·第一章 / 1.2

典型方程与弦振动模型

教材209—212页

1.2 · 教材209—212页

模型	典型方程	主要未知量	演化或稳态
波动	$68$	位移、某个场分量	二阶时间演化
热传导或扩散	$69$	温度、浓度	一阶时间演化
泊松	$70$	电势、稳态温度	不随时间演化

原书热方程也常把系数写成 $71$ 。本讲义用 $72$ 表示热扩散率，避免把它和波速 $73$ 混在一起；遇到教材 $74$ 时，直接对应 $75$ 。

量纲也不同： 波速 $76$ 的单位是长度/时间，扩散率 $77$ 的单位是长度平方/时间。形式里都有二阶空间导数，不表示物理传播方式相同。

稳定状态令 $78$ ；对真正不随时间变化的函数，也有 $79$ 。注意仅在某一个时刻 $80$ 并不代表过程已稳定，振动到最高点时速度也可暂时为0。

图 P1-2 波动平移、扩散展宽、稳态不随时间改变

灰色示初始轮廓：理想行波只平移，扩散会展宽，稳态问题没有时间演化项。

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理想弦模型忽略弯曲刚度，只考虑张力沿切线作用。取 $81$ 为横向位移，假设纵向位移可忽略，且小斜率 $82$ ，这样弧长约为水平长度，张力的横向分量可线性化。

“小振动”不仅指位移绝对值小，还要斜率小。高频、短波长形状即使振幅不大，也可能斜率很陡。

原书线密度写 $83$ ；这里临时写 $84$ ，明确它的单位是质量/长度，和热学的体密度 $85$ 区分。外力密度 $86$ 单位是力/长度。

如果题目增加阻力、弹性支撑或变密度，要回到力的平衡式改项；不能只背最简的 $87$ 。

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取区间 $91$ 。张力水平分量近似为同一个常数 $92$ ；左右端竖直分量相减，净力约为

88

加上分布外力 $93$ ，牛顿第二定律为

89

约去 $94$ ，得到

90

原书更细地把张力分成水平、竖直分量，先从水平平衡说明水平分量不依赖 $95$ ，再用小斜率和近似不伸长把它当常数。第一轮要会“净力差＋外力＝质量×加速度”的主线，不必背每个向量符号。

图 P1-3 弦微元：端点横向张力的差，加外力，等于质量乘加速度

左右张力都沿弦的切线、指向微元外侧；竖直分量相减形成曲率项。外力箭头仅示方向示例。

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均匀弦 $98$ 为常数，

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张力增大，波速增大；线密度增大，波速减小。 $99$ 时叫自由振动， $100$ 时叫受迫振动；是否有初始形变，是另一件事。

若单位长度阻力为 $101$ ，则

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若还受到单位长度回复力 $102$ ，左边再加 $103$ 。符号可以从“阻力反向于速度、回复力反向于位移”检查。

若张力 $104$ 为已知变量，净力形式应保留 $105$ ，通常不能直接写成 $106$ 。本书最简模型中的常系数来自假设，不是普遍规律。