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38 原书1—6题：代入验证与通解

1(1)得到，适用；若要求在原点有界，则。1(2)令后有，故

若要求原点正则，通常需，并用延拓。

原书2的方程可写为，分别验证每一项即可。原书4代入得到，所以。

原书6(1)把视为参数，得；6(2)，令，得，所以。

6(3)，可取时间无关特解，再加左右行波。这里，分母不能取0。

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39 原书7—8题：把物理条件写全

原书7三种热杆情况都从、开始，再补端点：

1. 左绝热右恒温：。
2. 两端分别以流入：。
3. 左给温、右与环境换热：，。

原书8是长度的两端固定弦，中点被拉起高度后从静止释放。初位移是

再写、、。本题只要求建模，不必提前求全时刻振型级数。折角意味着需要分段或广义解解释，模型本身仍有用。

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40 原书9—12题：降维边值特解特征线与延拓

9(1)，直接积分得。

9(2)球对称波动令，变成；为了在正则，。把、作奇延拓到负轴，再用一维达朗贝尔公式，最后除，取适当极限。球面面积造成的衰减，正是这个换元的意义。

9(3)单位球面上给。注意点在球外，函数

在球内调和；球面上，分母平方就是。找到合适球外点源，便得满足条件的解；唯一性可用调和函数的Dirichlet唯一性结论确认。

星号9(4)是沿给、给的Goursat问题。本题，把代入两条线，得到

每条特征线只留下一个变化的函数项，交点值被算了两次，故要减去一次。它和在同时给位移、速度的Cauchy问题不同。

原书10是输运方程。沿求全导数，积分得

星号11利用初值奇偶性：两份初值都奇，则解关于仍奇，；都偶则解偶，光滑时。

星号12固定半直线、初位移、初速度。两者本来都可奇延拓，公式直接给

检验边界、两条初值和波动方程。这里初速度在无穷远增长，并不妨碍每个有限依赖区间上的公式有意义；也不要把它误当有限弦两端固定题。

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41 一张表决定先写什么、再算什么

这一章的建模题写完后，逐句划掉题目中的已知条件，确保每一句都在模型里有位置。解题完成后，至少验PDE、初值、边界三项。若数据有折角或突变，再说明采用分段或广义解的解释。