第一式二阶线性，整理成，非齐次。第二式一阶非线性，因为乘着。不能因第二式右端为0就套线性齐次叠加原理。

第一式为。第二式为。对积分时，积分“常数”可任意依赖。

，相加为0。把它看作与无关的三维函数，有，也满足三维拉普拉斯方程。

波峰，即，向右，速度3。因，有。

，所以新旧比为。不能直接按算。

，等价于。每项都是单位长度上的力；除以后每项为加速度。正阻力系数在左边是正的一阶时间导数项。

，所以。稳态为，不是。

，沿正方向流。它从左侧高温流向右侧低温。这里是通量分量，不是温度的时间导数。

左端，右端。若侧面绝热且无体源，总储热变化为，符合两端都流入。

左端，右端。若左端，由得；温度沿进入杆内的正向升高，热从左端向外流。

热方程对一阶，波动方程对二阶。热方程的高光滑解满足，所以不能再任意指定独立初始导数；它必须与PDE相容。

，；；。若要求初始角点处连续，还应。边界非齐次，因为右端一般不为0。

初位移为在；在。方程，初速度0，边界。两段在均等于，折角按分段或广义解理解。

位移项为，速度积分项为。故。，初值正确。

位移项为；速度项为。所以，在为0，故限制到也满足固定端。它不自动满足任意有限位置的另一固定端。

区间为。若改动支集完全在这个区间之外，例如10附近很小的邻域，则不能影响该时空点；以后更长时间可能影响。

差满足齐次方程和齐次边界：。和满足，一般不再是原来的非齐次问题。

可取，因为。令，有，但边界，通常非零。除非特解本身在边界为0，否则不能自动把所有数据齐次化。

内积分为，所以。它与无关，故，两条初值为0。

波动辅助问题给，第二次求导数时出现源。热辅助问题给，第一次求导就出现源。两者都用累加。

。初值为；直接求导，。源函数要沿特征位置取值，不能直接写成。

等价于，积分得。要求原点有界则，只剩常数。三维对应的是，不能把维数混用。

取球外点，则球面上。故在球内调和且边界匹配。奇点在，不在闭单位球内。

记。有，，两者满足关系。固定时指数衰减快于增长，所以趋于0；但全直线积分恒为。峰越来越窄且越来越高，不能交换点态极限与积分。归一化后就是总量1的基本热核。