数学物理方程篇·第四章 / 4.7
半无限杆给定端温与误差函数
教材319—321页
4.7 · 教材319—321页
27 原书例2：平方根指数来自热方程的一阶时间导数
考虑、、初温零、，选远处衰减解。时间变换得
对比波动的：热像方程里是，波动是，所以空间指数分别是和。这一步解释了扩散没有有限波前，而理想波动有有限传播速度。
4.7 · 教材319—321页
28 恒温阶跃：erfc公式从核积分得到
若、，，则
检查：得；固定、得0；固定、得0。扩散的特征长度为，不是。任意时每个有限已有很小但非零的响应。
图 P4-13 恒温阶跃产生erfc温度剖面，扩散尺度随根号t增长当前在x=1处温度约为0.02535；没有严格的有限到达波前。
初温零与端点立刻跃到在角点不相容，公式按内部初值及边界理解。这是具体数据的性质，不是反演算错。
4.7 · 教材319—321页
29 任意端温是过去历史与边界热核的卷积
对，记，则。因此
若可微，还可写成。当有跳跃时，分成阶跃响应更方便，不必把普通导数公式硬套过去。
图 P4-14 端温降回零以后，杆内仍保留热量下图是E(t,1)-H(t-1)E(t-1,1)，撤去端温后并不会立刻处处为零。
例如端温加热到1后在时降回零，，有。降温后内部还存有热量，不会随着端点立刻一起归零。
4.7 · 教材319—321页
30 为什么热边界核不能直接代x等于零
每个固定都有，但，时权重向集中。边界温度正是由这团越来越尖的时间权重恢复。
讲这一点是为了避免错误交换极限与积分。第一轮不需要证明所有近似恒等算子的定理，只要记住：核公式用于内部，边界用极限或原像条件检查；不要先把一个集中核的参数置零。
误差函数与Fresnel积分的标准定义可查NIST DLMF定义页。本讲义公式已内嵌，阅读和做题不依赖联网。