数学物理方程篇·第四章 / 4.8
有限弦的边界驱动与留数反演
教材321—323页
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31 原书例3：左端固定，右端给斜率，不是给位移
原题为，，零初值，
时间变换后，、。由，得到
右端求导会带，所以分母多出。 如果把原题当作，传递函数和固有频率都会改变。
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32 极点位置把上一章的混合边界频谱重新带回来
给，其中、、。驱动还给。虽然出现在分母，但，所以是可去点，不是一个必须加留数的极点。
教材假设，这些非可去极点才分开为简单极点。在适当反演条件下，留数给驱动频率项与全部固有模态项。无穷极点展开还需相应收敛与围道论证，不能只看见分母就不检查地把所有零点当简单极点相加。
图 P4-15 驱动极点与固有极点分开，可去点不能误算留数极点位置仅作示意，图中固有频率比例为1:3:5；p=0的分母零点被分子抵消。
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33 留数结果可以用特征展开独立校验
非共振时可选一个同时满足方程和边界的周期特解
令，则左D右N齐次，、。投影得
这与教材把改记为后的留数级数一致。第一项满足非齐次斜率，后面每项在右端斜率零；初位移零，初速度由补偿级数抵消。由此能分别检查驱动项、模态频率和系数符号。
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34 共振时回到ODE或重极点，不能保留零分母
若，驱动极点与固有极点重合，通常形成二阶极点，时间解出现乘振荡。上一节的周期特解因不适用，不能继续保留其零分母。
始终可选线性提升，使满足齐次混合边界，并有新源、初速度。按混合模态展开，每个解受迫振子ODE；共振项单独求，或在拉普拉斯域算重极点留数。
讲这里是为了说明教材排除频率重合的假设实际用在哪里。基础题先完成非共振情形；必须会发现共振、选择可用的提升、避免零分母。