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35 习题1的三个傅里叶问题

1(1) 上半平面调和。 对变换得，边界；由远处衰减选。反演得到

这是半平面的泊松积分核，解的方程是拉普拉斯方程。数据要与题设远处衰减要求相容，不能一边给整个边界恒为1、一边还要求所有无穷远方向解趋零。

1(2) 有源全直线热方程。 初温零，答案就是4.2的源项双积分；先解，再反演，不能漏掉过去时间积分。

1(3) 半直线给端温。 按题目要求用正弦变换，，初值零，得到。完整推导见4.4，与4.7时间拉普拉斯法相同。

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36 习题2的第1至3小题

2(1) 、、。对拉普拉斯，，再对求导，得。边界，故，反演。

2(2) 杆、左绝热、右恒温，初温，方程。像函数为

反演或留数给

长期趋。若，初时右端角点不连续。

2(3) 半直线，、初温、端点零温、远处。时间变换给

注意远处温度为，题设只要求导数趋零，不能擅自要求温度趋零。

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37 习题2的第4至6小题

2(4) 半无限弦初位移零、初速度常数、左端固定、远处。像方程给，所以

前沿上位移连续、导数分段，按适当较弱或分区意义理解。

2(5) 两端零温，，初温。时间变换或直接分模态得。

2(6) 两端绝热，初温，解为。平均值为零，所以没有常数项；一般绝热初温不能都删常数模态。

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38 习题2第7小题：径向三维波动化成一维

原题，径向对称，、、原点有界。令，则，，初速度。

时间拉普拉斯满足。半轴D边界的解可写

用延迟反演，把两段积分合并成奇延拓的一维波公式：。最终

原点值由极限求，不是把直接判为发散。教材提示的余弦积分也可经频率求导辅助正弦变换；这里给出了时间拉普拉斯的闭合路线。