分部积分给。再用一次，。一阶是负号，来自正向指数的正号；不能混用另一种约定。

第一式，因为指数合并为。第二式令，得到。不要把频率移动方向与空间移动因子的符号混记。

，，因此。未乘初温变换的只是核的像，不是任意初温的解。

。令，积分为。因此卷积不会凭空改变可积初温的总积分。

代得到。恢复初温；峰值下降、宽度增加，总积分保持。

分别为与，高频与低频的幅度比为。不是频率大三倍就只衰减快三倍，指数系数按频率平方增长。

。内层对源位置，外层对过去时间。核使用剩余演化时间，不能写成固定的再乘当前源。

这里，波数，梁角频率，所以。，，相加为零。

含，会变号，且作为普通函数并非绝对可积的概率密度。热核则非负、积分1。两者时间乘子分别是和，物理行为不同。

，。前者需要已知端点值，后者需要端点导数；两次分部积分即可重建，不要一律丢边界项。

给值选正弦，；给导数选余弦，。两者初值均为零。非零边界直接进入ODE右侧，不一定要先作提升。

。求导得，端点导数为2，温度相对初值为负。这与沿杆内正向热流为负相符。

，所以。这里可依赖。初速度不能与初位移一样再乘一个。

第一式为；第二式为，。前者在严格零，后者任意都为正。一个是有限延迟，一个是扩散响应。

到达时间，。因此时；时。前段外力已经在作用，尚未到达的是固定端的修正影响。

，即时，时。波前位移连续，一阶导数分段；在两个区域分别满足波动方程，前沿按适当较弱意义理解。

，所以。扩散长度按增长。端点极限5，固定内部点初时趋零，远处趋零。

令。解。端点在的极限为，内部仍有尚未消散的温升。不能在撤去端温时直接把全杆解置零。

对固定确实趋零，但，权重不断集中到。点值极限不能在这里直接移入积分；边界应取整个卷积的极限。它是集中核的典型行为。

本约定下。向上延拓乘，像为，反演得。恢复边界，可直接验。

，所以时趋，导数趋零。它满足题设，不能因解不趋零而删掉常数特解。若题目改要求温度趋零，就必须重新检查数据和条件是否相容。

减稳态2，余项初温。、，系数。所以，长期趋2。初时右端数据不匹配，按内部初值理解。

像方程解。右端导数为，故。分母来自链式求导。

，故可去，极限为（）。给，即混合边界的固有频率；此外驱动项有。

驱动极点与固有极点重合，通常成为二阶极点，反演产生乘振荡项。可取满足两端原边界，齐次化后用模态ODE求解。不能在非共振结果中留下的分母。

对拉普拉斯，，，所以。反演，直接求混合偏导为2，两个边界都满足。

分子在为零，对求导得，除以，极限。对求导再令，时得，原点为1，与初速度连续匹配。

前者漏端点项，只有该导数为零时才可省。后者漏，只有两条初值都为零才可省。变换后ODE看起来再熟悉，也不能替代对原数据的逐项带入。