5.1 · 教材§5.1，第325—328页

01 整章地图：源、核、积分各做一件事

先想一个最朴素的问题：如果知道一滴墨水在水中怎样散开，能不能预测一整条墨线怎样散开？在线性模型中，可以。把墨线切成许多小段，每段近似一个点源，把它们的影响加起来；小段无限细，就得到积分。

数学上，把观察点写作 ，源点写作 。 表示“在 放一个单位扰动，过了 后，在 测得的响应”。初始分布为 时，小段贡献是 ，于是

这里不是把 当万能黑箱：它必须满足同一个方程以及相应的边界条件。全空间常系数问题的核常只依赖 ，才能简写成卷积。有限区域一般要保留两个空间变量。

做到什么程度： 看到积分要能指出谁是观察点、谁是积分变量、谁是已知数据、谁是核。暂时不用背任何三维积分公式。

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02 为什么“零点以外为零”还不够定义δ

普通函数如果只在一个点非零，通常积分仍是零。单位点质量却要求总质量是1。因此，不能把“，其余为零”当作普通函数的精确定义。真正可用于计算的定义是它对光滑测试函数的作用：

这是抽样性质：把 在源点的值取出来。严格理论中写成 ，测试函数通常取光滑且具有紧支集的函数。你现在只需把δ看成“放进积分后执行抽样的对象”。

用宽度 、高度 的矩形近似：

它的面积始终为1；当 时，。这是积分意义下趋向δ，不是给δ规定一个普通函数的点值。高斯窄峰也能做同一件事。

必须避免： 把δ的“高度”代入常规四则运算、计算 、随意约掉δ。一般分布之间的乘法并没有自动定义。

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03 点质量、点热量、瞬时冲量怎么写

总质量 集中在 ，线密度写成 。因为对任意包含该点的区间积分得到 。集中热量 放进均匀细杆，若横截面积 、密度 、比热 ，温度初值满足

所以

δ前的系数不能只凭“单位点源”四个字猜。先写守恒量，再确定系数。教材把某些热量取为 ，并取单位截面积，才使初温恰为δ。

力在 给物体一个冲量 ，则写 。把 跨过 积分，可得 。δ描述的是有限的总冲量，不能理解成“无限大力持续普通时间”。

做题用途： 把题目中的“集中在一点”“瞬时作用”“总量为某数”翻译成正确的初值或源项。空间δ与时间δ的积分变量不同，不要混用。

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04 抽样前先检查根在哪里

因为源点2在积分区间内部。若改成 ，结果是0。如果根恰落在端点，必须交代端点约定；对称正则化常产生半权重，但这不是所有单边定义都自动遵循的规则。本讲义没有声明约定时，抽样公式均取根严格位于区间内部。

不要漏掉积分测度的单位： 的量纲是长度的倒数，使 无量纲；三维δ的量纲是长度的负三次方。