5.2 · 教材§5.1，第328—331页

05 平移、偶性、卷积单位元

源点从0移到 ，写成 。把 换成 不改变作用，因为δ关于自己的中心对称。与光滑函数相乘时有

证明只需两边乘任意测试函数 后积分，均得到 。这叫分布相等，并不是比较它们每个点的数值。

卷积则给出

第二个式子请自己写成积分验证：。用途： 初值为δ时，卷积公式直接留下核本身；证明初值恢复时，δ把 还原成 。

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06 缩放公式：为什么一定有绝对值

对 ，

换元 后，积分测度提供 。若 ，积分上下限也反向；总量不能变成负数，所以这里必须是绝对值。

更一般地， 在各零点 附近光滑且 ，则

例如

流程： 解根 → 检查哪些根在积分域 → 每根除以导数绝对值 → 代入被抽样函数。 在0处是重根，不能硬套该公式。

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07 δ的导数：负号从分部积分来

导数的定义是

更一般地

它保留了分部积分规则。考试最常见错误是把导数也当成普通抽样，漏掉负号。例如 。

两个重要恒等式：

第二个式子对测试函数 的作用为 。更一般地，

注意区分 和 ：前者是δ导函数在负自变量处的拉回，等于 ；后者还要乘链式法则的 ，所以等于 。

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08 傅里叶表示不是一个普通收敛积分

沿用上一章约定：

那么 ，形式上写作

这个积分不是逐点收敛的普通积分。可以先截断为 ，得到 ，再在测试函数积分意义下取极限。另一种方式是乘上 ，得到归一化高斯，再令 。

为何要讲： 后面把 代入变换后的方程，才有最简单的初值；三维波核中的δ也由这种形式出现。第一轮不要求你证明分布空间中的收敛定理，但必须知道不能随意交换这些振荡积分。