5.9 · 教材§5.3应用与本讲义补充

33 高斯初温：先配方，再读物理量

求 、，。卷积为两个高斯的积分。将指数配方，或使用高斯积分 ，得到

先检查 恢复初温；再检查总积分始终是 。不要误以为初始高斯总量必为1，它有没有归一化取决于前面的系数。

做题要点： 系数、指数中的时间尺度要配套。若空间整体平移到 ，把 换成 即可。

5.9 · 教材§5.3应用与本讲义补充

34 正弦初值、常数源和反应项

若初值 ，不用做卷积积分：它是拉普拉斯的特征函数，解为 。零初值且源为常数 ，全空间均匀解为 ；这也由 得到。

方程改成 ，令 ，就把反应项去掉。点初值的核为

它的总积分为 ，不再总量守恒。若再加源 ，源积分中乘的是 ，因为每份源只经历余下的演化时间。

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35 有边界时，热核也可以做镜像

半轴 、齐次边界，令源点 。固定零温边界用

绝热边界用

前者在 两值抵消；后者在 两导数抵消。它们必须与半轴上的数据做 ，不能再拿全轴积分重复计算。

对 ，空间总积分保持1；对 ，小于1并随时间减少，因为边界会吸收热。有限区间的核也可按正弦/余弦特征级数构造。全空间热核、镜像热核、特征级数是同一个思路在不同边界下的实现。