5.15 · 教材习题，第372—374页

52 原书题1：五个δ恒等式都用测试函数证明

以下默认测试函数光滑且有紧支集，所有恒等式均在分布意义下成立。

(1) ：与 配对得 。

(2) ：两边与 配对都等于 。

(3) ，：换元 ，两边对 的作用都为 。负的 会反向积分区间，结果仍含绝对值。

(4) ：由 ，而 。

(5) ：左边对 的作用是 。

评分点： 不能只写“由δ在0以外为0可知”，那不足以证明分布恒等式。写出任意测试函数的积分才是完整的一步。

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53 原书题2：坐标变换中的δ

设 在对应点附近光滑可逆，雅可比 。待证

证明时将右边乘 ，对 积分，δ把它取在 ，得到 。这正是左边与 的配对，所以成立。教材写 时，δ会自动将其取在源点。

极坐标 ，故 时为 。角变量按周期或单一坐标图处理，避免 与 重复。源在极点时用径向分布处理，不能除以 。

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54 原书题3：有限杆点初值与有限弦点初速度

(1) 热方程，零值边界。 取 ，范数平方 ，初值δ的系数为 ，所以

每项在两端为0， 的级数初值按分布意义恢复δ。对 指数衰减使它成为平滑温度。

(2) 波动方程，零导数边界。 空间应为余弦，且包含常数模态。令 ，得到

在 为0；时间导数的初值是余弦δ展开。对 求导后每项带 ，两端均为0。空间积分等于 ，也与单位总初速度一致。

原书答案勘误说明： 扫描本印刷第398页对应答案的非零模态含 ，与第373页题面 不匹配。这里按题面给出余弦解；不能同时保留 又把空间基写成正弦。端点求导检验比机械对答案可靠。

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55 原书题4：各向异性与双调和基本解

本题统一取 ，不是 。

(1) ，。令 ，算子变成二维拉普拉斯，而 ，故可取

它与 只差常数。必须出现 ，因为δ也随坐标缩放。

(2) 二维 。对 ，，再用 ，可取

第一步没有隐藏的点δ： 的小圆通量趋于0。第二步才由 产生点源。

(3) 三维 。因 （分布意义下此步无点δ），而 ，所以

检查符号：再施加一次拉普拉斯，。

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56 原书题5：亥姆霍兹基本解还需说明选择

对 ，取 。空间傅里叶变换形式上给 。分母在球面 为0，需要指定分布解释或无穷远条件，不能声称其普通逆积分绝对收敛。

不另加辐射条件时，可取实基本解

验证： 时径向方程 ； 的主奇异项为 ，通量为1，零阶项的小球积分趋于0，所以源为 。

若采用时间因子 并要求向外辐射，可选 。它与实核的差是齐次解。本题必会： 频域分母、近源归一化、为何基本解不是不加条件就唯一。辐射条件的完整谱论推导可暂缓。

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57 原书题6：三种三维区域的镜像格林函数

本题取 、零值边界。

(1) 四分之一空间 。 源 ，另设 、、。则

反射一次换号，反射两次恢复正号。在任一坐标平面上成对等距抵消，三个镜像均在区域外。

(2) 上半球 。 先用球内格林函数 处理球面，再令 处理平面：

在球面上两项各自为0，在 上两项相等。展开后有真实源、反演源、平面反射源、反演后反射源四项；只有真实源在上半球内部。球面反演权重仍为 ，不能漏掉。

(3) 层状空间 。 真实源 ，。平移像点 与 ，则

按每个括号成对求和。 处通过 等距抵消， 处通过 抵消。一次反射无法同时满足两面，故需要无限像列。无穷远方向取符合衰减要求的解。

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58 原书题7：二维象限与半圆盘

本题仍取 。二维点源势改用 ，而不是三维的 。

(1) 第一象限。 真实源为 ，镜像为 、、，相应距离为 。反射符号与三维相同：

在 上 ，在 上 ；两处均为0。

(2) 单位上半圆盘。 用单位圆盘格林函数 ，源 、、，平面反射为 。取

若 、，写开为

两个圆盘核的常数修正相消。圆弧上各自为0，直径上相等相减。解法思想： 先满足曲边，再用反射补平边；不必重新猜四个源的权重。

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59 原书题8：带反应的热方程

方程 ，基本解的初值为δ。令 ，则 ，。因此

检验总积分为 ，并满足 、。不要以热方程的守恒性否定这里的增长或衰减；多出的 本来就在产生或消耗总量。

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60 原书题9：输运与阻尼波的基本解

(1) ，初值 。 沿特征线 ，全导数为 。因此

相应初值核为 。必须核对漂移方向：当 ，形状 向右移。

(2) ，初位移0、初速度 。令 ，逐项求导后得到

频域速度核为 。其逆变换为

所以

教材提示中的一般参数式需要成套处理缩放：逆变换 对应 。在本题 ，于是得到上式。第一轮无需证明整张贝塞尔积分变换表，但必须会指数替换、参数对应与初值检查。

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61 原书题10：二维非齐次波动的积分式

初位移、初速度都为0，所以只保留源项。令 ，则

得分要件： 正确的 、正确的历史时间 、随 缩小的圆盘、正确的根号。用常数源 检验：空间积分为 ，时间积分为 。

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62 原书题11：再降一维得到达朗贝尔

把二维数据取为与 无关。对二维核中的横向变量积分，固定 ，有

当 成立，外部为0。这正是一维平台核。再对初位移核卷积求时间导数，就得到

这里降维做了真正的横向积分；只删变量会丢掉几何权重，得不到正确的一维系数。

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63 原书题12：四道直接使用公式的题

(1) 高斯初温。 对 、，第33单元的 给出

(2) 二维波，初位移 ，初速度0。 因 、，时间展开在二次项终止：

检验 ，两个初值也正确。虽然多项式不在 ，核在有限圆盘上的积分仍有意义，且可直接验证所得经典解。

(3) 二维波，源 ，初位移0、初速度 。 因 ，设 ，得到 ，故

(4) 三维波，源 ，初位移和初速度都为 。 同样 ，所以 ，得到

这组题真正考什么： 公式的三份数据是否放对位置，以及能否看出拉普拉斯使多项式降次。能用有限模态或多项式直接求解时，不要强迫自己做复杂积分。