5.8 · 教材§5.3，第352—357页

29 一阶时间只需要一个初值

对全空间常系数问题 ，初值为 。定义 、，则

卷积只对空间做，后面还单独对源发生的时间 积分。第一项让初始状态演化 ；第二项让 时刻新产生的一小份源演化剩余的 。

写开一次，避免用星号掩盖变量：

它的积分上限不能变成无穷大，否则把未来源也算进现在。对常系数算子可以利用平移不变性；有边界时要换成满足该边界的 。

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30 为什么源项的系数恰好是1

令 ，用带变上限积分的求导法则：

关键是 ，所以第一项抽样还原 。。初值项同理满足方程，且 。把两项相加，就是教材定理的证明主线。

需要学到哪里： 会独立求这一行，知道为什么是 ，知道最上端产生的是 。证明中交换微分和积分所需的正则性、增长条件可放第二轮；但遇到不收敛的数据，不能默认公式仍给经典解。

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31 从频域推导任意维热核

取 、。变换后

于是 。各坐标的高斯逆变换相乘，得到

一维分母为 ；二维为 ；三维为 。不要把三维指数的幂写成一维的。 一维教材的 与上述写法完全相同。

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32 热核必须有的三个性质

第一，，且 。第二，固定 时， 有 ；但对初值卷积则 ，不能把前者的逐点极限拿进积分得到0。第三，峰高降低，典型宽度按 增长。

一维归一化核的二阶矩为 。因此总热量守恒不表示峰值守恒。增加 会加快扩散。

对任意 ，热核在全部空间为正，所以经典热方程没有有限传播速度。这是模型性质；不能给热核人为加上波动方程的 截断。