数学物理方程篇·第三章 / 3.9
正交模平方与傅里叶—勒让德展开
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34 正交性与模平方：系数中的2n加1从这里来
不同特征值的正交性由自伴形式得来；模平方可由母函数乘积积分，或三项递推与归一化计算。第一轮知道来源并会使用，不必背冗长的二重求和证明。
因此
如果变量为球面角度，则
漏掉会改变内积和系数。 函数值只是，并不意味着权也自动变成1。
图 P3-18 球面环带面积带来sinθ，换成x后权变为1圆形示意球的经线剖面，粗横带表示纬带的位置；完整面积还包含绕轴的2π因子。
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35 多项式展开：比较系数通常比积分省力
由，立刻有。同样
这是有限展开，精确成立。偶次只留偶阶、最高阶不超过多项式次数，先利用这两点就能大幅减少待定系数。
需要积分投影时当然也可用通式；两种路线应得到相同结果，可互相校验。不是所有题都必须把最通用的方法完整写一遍。
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36 阶跃和绝对值：无穷展开时说明在哪里收敛
原书例1对（）、（）展开，。由系数公式与原函数得
在恢复跳跃平均；并非两侧任意指定的单点值。对于适当分段光滑数据，内部连续点恢复原函数；不加条件地宣称处处一致收敛是不对的。
是偶函数，只有偶阶。可用，前几项为。它在虽连续但导数跳跃，展开仍有用。