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43 习题1—5：识别方程母函数与半整数阶

题1 柱坐标拉普拉斯分离：，，；分离常数的符号可以另选，但三式必须互相一致。

题2 链式法则：；。

题3 将级数逐项积分，配合，得到，取极限1。

题4 令，由上一节换元方程得到；也可用直接验算。

题5 三条求和恒等式分别在正文3.2的母函数三角展开中取或。

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44 习题6—11：递推导数与积分的六组练习

题6(1) 由和，结合方程得。(2) 用相邻阶递推将改写为，再用，即得。

题7(1) 时，用得。(2) 乘积求导得。

题8 对整数，两次分部积分得

特别；再分部积分得。写下限为零时应检查乘积在零处的极限，别把所有幂次都不加限制套用。

题9 ，对右侧求导验证最直接。题10(1) 用、得到题中积分关系；(2) 分部积分得。

题11 直接求导检查两个原函数：；。不是所有都能用初等函数表示，保留积分本身也可能是合理结果。

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45 习题12—15：展开系数与Parseval

题12 区间，，阶跃于、于。D模平方，分子，所以。跳跃点取。

题13 区间、，展开于。分子，分母，故。注意这里是阶数1的D问题，不是阶数0的N问题，虽然两者用到同一串正根。

题14 带权Parseval：若、，则，从正交投影及适当收敛得到。

题15 将常数展开代入Parseval：左侧，右侧，故。常数在外端不满足D边界，但可在带权平方积分及内部逐点意义使用；不能声称在也等于1。

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46 习题16—19：圆柱圆膜及阻尼的应用

题16 无限长圆柱侧面恒温、初温零：利用对称性归为径向热传导，答案见正文3.6的公式。

题17 半圆膜直径和圆弧均固定：角向，径向，角频率，；不含。

题18(1) 侧面零温、底零、顶恒温：用正文3.5的正根和双曲正弦公式。

题18(2) 径向阻尼波、外圆零导数。包括常数零模态；初速度零时该模态保持初位移的径向平均。正模态用、。若，时间因子，；相等取，小于则用双曲函数。题中“很小”不能代替逐个检查与最低正频率的比较。

题19 侧面散热、底零、顶：根，按Robin模平方投影，轴向。原题外换热系数可另记，避免与圆柱高度同字母混淆。

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47 习题20—23：勒让德在零点的值与积分

题20 对，

由显式多项式的常数项、一次项读取，或用递推生成。

题21 反复使用，望远镜相消，得到。

题22(1) 对非负整数，若或为奇数，积分为零；否则

约定。(2) 用后正交投影：仅可能非零；对应值和。

题23 勒让德方程乘再分部积分，端点使边界项为零，得到。

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48 习题24—29：展开球内外与半球综合题

题24(1)(2) 的有限展开见正文3.9；(3) 用偶阶投影，可保留系数积分，前几项也见正文。

题25 球面，球内。题26 单位球边界，故。

题27 单位球外边界，若要求无穷远趋零，。原题若没有写远处条件，外域问题还需补足这一条件才唯一；这里只给通常的衰减解。

题28(1) 半球底面零温：只取奇阶，球面常数的半区间展开见正文3.10。(2) 底面绝热：是解，结合唯一性即可。

题29 半空心球内外面给、底面：正文3.10已完整求得只含常数和的闭式解。这里球壳内半径是，不要把“厚度”误读成内半径为零。