阶数2，波数3，。在原点发散，实心区域有界时。不是，阶数来自常数项，缩放来自。

，。因此、。对求导得，可交叉检查。

；由，得。负非整数处可以有限，非正整数处才是本章提到的极点。

分别为、。第二个式子也可先令，写再求导。撇号是对完整自变量求导，外层仍有5。

由，积分为。下端。若，直接算，也等于所得表达的极限。

写，得到。对答案求导：第一项给，第二项给，余下正是被积函数。

，。波数，特征值，角频率。阶数是0，径向编号是1，不能把四种量都写成2.4048。

把放进得到恒零函数，不能作特征函数。应回到径向方程，有界解，外圆迫使。因此无非零零模态。

权为，。系数分母是这个积分本身，不能写成。函数在原点为1，不与D边界冲突，因为D条件在。

分子，分母，故。内部适当意义下。在每项为零，因此不可能恢复端点值1；可用内部逐点或带权展开解释。

先算。除以模平方得到。于是，外端也与零边界相容。

根方程。令，等价。。时常数不能满足Robin边界，所以没有常数零模态。

常数模态系数。正模态均衰减，长期趋。它是面积平均，不是区间普通平均。守恒量为。

。径向拉普拉斯作用于该函数等于倍自身，故时间因子是指数衰减。其原点温度等于该指数，圆周恒零。

。初速度要除以角频率，空间阶数由确定为1，不得改成。

两边零值给、。的正弦恒零，轴对称常数角函数也不满足直径零位移。最低模态为，角频率，不是。

。顶面已经是一个径向特征函数，不必做积分。径向拉普拉斯给负特征值，二阶导数给正特征值，两项相消。

只激发径向常数模态，。径向导数恒零，，两端数据匹配。不需要贝塞尔正根求和；若从仅含正根的式子出发，就会漏掉这个解。

。再，所以。两者分别是偶、奇多项式，且在1处均为1。

。令，由，仅非零。没有的角积分会给错误系数。

，因此。奇函数只含奇阶，次数3只需到。在检验：右侧，与原式相同。

由，第一式。第二式被积函数为奇函数，积分零。直接代多项式也可验证。

由自伴方程，乘积分，边界项零，结果。不用把四次多项式全部展开再积分。

边界展开为，所以。中心值为，是球面平均，而非对角度作无权平均。

。第0阶径向衰减是，第1阶是。若未给远处条件，还可以考虑其他满足边界零的调和修正，唯一性不能直接宣称。

赤道对应。零温要求，取奇阶。绝热在底面法向为轴向方向，赤道处，零通量等价，即，取偶阶，包含常数。

，。故。跳跃点收敛到。除常数外仅有奇阶，因为是奇函数。

只需。内面，外面，得，所以。区域不含原点，不应删。

，。在有，所以源势与镜像势相加。镜像位于球外；总势在球内只有原源点的奇异性。

减去后，球面是，底面零，只需。由两球面联立得，因此。与时括号均为1/2，底面余项为零。

左侧模平方。右侧为。所以总和。这里用平方积分展开，不要求不相容的外端值也逐点恢复。

第一式等于，三维拉普拉斯为，不调和。正确解。第二个把零导数当成零函数值；轴对称N边界应为即，并单独保留常数零模态。