数学物理方程篇·第四章 / 4.2
全直线热传导与热核
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06 原书例1：把初始条件也变换，才有唯一像函数
考虑，、，，。定义。在足够衰减的初始推导中，
所以。如果只写一般解而没用初值，就还没有完成这道定解题。
时间衰减率和上一章热模态一样是“扩散率乘空间特征值”；只是这里连续，不是整数编号。
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07 高斯反演的常数：漏掉一个根号就不守恒
利用高斯积分，
教材，前因子就是。热核满足、、。最后一个积分是最快的常数检查。
图 P4-4 热核展宽降峰，空间积分始终为1曲线处处非负；这是单位总热量的温度分布，不是任意初温的完整解。
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08 卷积解、初值恢复与一个高斯完整例子
由乘积反演为卷积，
时核集中到附近，在连续点恢复；不能直接把代入含的核再积分。对可积初温总积分保持，对有界初温温度是初值的正权平均。
例如，，完成平方得
峰降低、宽度增大，总积分不变。若初温恒为，由核积分为1立刻得。
图 P4-5 高斯初温的峰降低、宽度增大，总量保持精确解u=(1+4t)^(-1/2)exp[-x²/(1+4t)]；当前中心温度=0.7454。
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09 频率视角：高频衰减快，空间形状会变平滑
每个空间频率都乘。同一时刻，频率大两倍，衰减指数里的系数大四倍；细小起伏先消失。这正是热传导平滑形状的原因。
图 P4-6 热频率乘子按频率平方衰减纵轴是频率幅度乘子，不是空间温度；λ=0的乘子为1。
热核还满足。先演化再演化，等价于直接演化。这个性质由频域指数相乘立刻得到，讲它是为了检查卷积和时间因子是否一致，不要求另背长积分证明。
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10 有源热方程：在空间卷积之外再积一次时间
对、，变换后是。积分因子给
反演：
空间积分累加不同位置的源，时间积分累加过去各时刻的源；只写一个一般不对。此式直接解决原书习题1(2)，也是上一章齐次化原理在连续频率中的版本。