5.7 二维对数核与矩形谱展开

数学物理方法 · 5.7 二维对数核与矩形谱展开

数学物理方程篇·第五章 / 5.7

二维对数核与矩形谱展开

教材§5.2.4，第346—352页

5.7 · 教材§5.2.4，第346—352页

二维径向调和函数为 $301$ 。要求 $302$ ，小圆周通量为 $303$ ，故

300

三维是 $304$ ，二维是 $305$ ，不能只换积分符号而保留原核。二维物理图像常对应三维中沿一个方向均匀延伸的线源。对数中的长度严格说应除以参考长度；改变参考长度只增加常数，不改变拉普拉斯和点源强度。

图 P5-13 二维对数核和三维倒距离核由不同通量定出

基本解分别为ln r/(2π)与−1/(4πr)；本章格林函数的奇异部分取反号。

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区域 $308$ ，真实源 $309$ 、镜像源 $310$ 。本章约定的格林函数为

306

真实源附近为 $311$ ，所以 $312$ 。边界两距离相同， $313$ 。法向导数给出上半平面泊松公式：

307

例如 $314$ 且 $315$ ，要求有界并向高处衰减，解为 $316$ 。用微分和边界检查即可，无需每次重新计算有理函数积分。

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半径 $319$ 的圆盘，源点距圆心 $320$ ，反演点同样是 $321$ ，但二维格林函数为

317

在边界上距离比为 $322$ ，额外的 $323$ 才使对数变为0。与三维的乘权重不同，这里权重进入对数，等价于修正常数。圆心源为 $324$ 。

圆盘泊松公式为

318

若 $325$ ，解为 $326$ 。这与第二、三章用分离变量求出的结果一致。不必把不同方法的同一个解背成两份知识。

图 P5-14 圆盘反演的距离比还要乘ρ除以R

图为平面圆盘。省略ρ/R会留下非零常数边界，虽然内部点源强度仍正确。

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设 $329$ ，四边为零边值。取

327

范数平方为 $330$ ，且 $331$ 。因此

328

为什么除以特征值： 拉普拉斯作用在每个模态上会乘 $332$ ，正好还原 $333$ 的展开。系数漏掉范数，或把特征值乘到分子，是最常见的两种错法。

若 $334$ ，零边值，立刻得到 $335$ 。格林函数的双重级数，是把所有这种单模态响应一次装进去。

图 P5-15 矩形格林函数是每个模态除以特征值

对G再施加Δ，−λ抵消分母，得到−δ的特征展开。

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候选 $338$ 在上半平面边界为0。它是否满足本章的 $339$ ？

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不满足。真实源的对数项系数为正，所以产生 $336$ 。边界对并不保证内部源符号对。应把距离比倒过来，即整体乘 $337$ 。

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单位正方形中 $342$ ，四边为0。求解。

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该模态的特征值为 $340$ ，所以 $341$ 。代入拉普拉斯得到右端，四边都为0。无需把全部双重级数都展开。