5.11 三维波核与球面平均

数学物理方法 · 5.11 三维波核与球面平均

数学物理方程篇·第五章 / 5.11

三维波核与球面平均

教材§5.4.1例1，第359—362页

5.11 · 教材§5.4.1例1，第359—362页

三维频域仍有 $490$ 。逆变换时利用球对称性，角积分将三重积分降成径向正弦积分；再用δ的傅里叶表示，得到

488

这不是普通函数，不应该去问球面上的有限高度。它说明点初速度的响应只在半径 $491$ 的球面上。δ对半径抽样，必须结合球坐标体积元 $492$ ，不能把 $493$ 单独看作源点处可直接代入的数。

一个归一化检查：

489

这与一维速度核的总积分相同。若你的结果为1，往往把速度核和热核混淆；若得到 $494$ ，往往漏掉一个 $495$ 。

图 P5-20 速度核在一二维内部有值，三维集中在球面

切换图示

三维示意为球壳截面，不是有限厚度、有限高度的实体薄层。

5.11 · 教材§5.4.1例1，第359—362页

固定观察点 $499$ ，令球面 $500$ ，定义

496

球坐标换元后

497

所以三维自由波动解为

498

这称为三维泊松公式或基尔霍夫公式的球面平均形式。时间导数作用在整个 $501$ 上，包括球面半径随时间改变的影响。不能只对前面的 $502$ 求导。

5.11 · 教材§5.4.1例1，第359—362页

把球面点写成 $505$ ， $506$ 。球面平均满足 $507$ 、 $508$ 。因此

503

若 $509$ 、 $510$ ，则

504

检验： $511$ ， $512$ 。在三维里系数是3；二维同题系数是2，不能跨维数套答案。

若 $513$ 是调和函数并且球平均公式适用，则 $514$ ，零初速度时解保持为 $515$ 。这是快速做题的捷径。

5.11 · 教材§5.4.1例1，第359—362页 · 自编检查题

若把 $520$ 错写为 $521$ ，它的空间积分是多少？相应初速度总量是多少？

展开解析

积分为 $516$ ，在0时的导数为 $517$ ，所以初速度总量为 $518$ ，不是1。应补上分母中的 $519$ 。这个检查比直接处理原点δ容易。

5.11 · 教材§5.4.1例1，第359—362页 · 自编检查题

三维全空间波动方程 $526$ 。求解。

展开解析

用速度项 $522$ 。于是 $523$ ， $524$ ； $525$ 。注意不能再加一次时间导数，否则初值会错。