5.14 推迟势是空间距离换成时间延迟

数学物理方法 · 5.14 推迟势是空间距离换成时间延迟

数学物理方程篇·第五章 / 5.14

推迟势是空间距离换成时间延迟

教材§5.4.4，第371—372页

5.14 · 教材§5.4.4，第371—372页

三维零初值、源为 $582$ 的波动方程有

580

固定源点 $583$ ，δ在时间上的根为 $584$ 。根在 $585$ 内要求 $586$ ；对 $587$ 的导数绝对值为 $588$ ，再产生一个 $589$ 。于是

581

这里的两个 $590$ 来自不同地方：一个原本就在三维速度核中；另一个来自对时间抽样的雅可比。把它们都交代清楚，分母的 $591$ 就不容易背错。

图 P5-23 只把过去光锥上的源送到现在的观察点

图用距离代替全部空间方向，是过去波锥的半个径向截面。源在负时间不存在时，还要限制r<at。

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距观察点 $593$ 的源需要传播 $594$ 的时间，所以现在 $595$ 看到的是过去 $596$ 的源。若源只在 $597$ 开始作用，未到达的点要排除。也可将 $598$ 对负时间延拓为0，然后在全空间积分。

例如点源 $599$ ，观察点 $600$ ，令 $601$ 。当 $602$ 时

592

当 $603$ 时为0。源点本身需要分布或奇异解解释，不能在上式直接令 $604$ 。若 $605$ 为有限时长信号，则到达观察点的是同样时长、平移了 $606$ 的信号，幅度含 $607$ 。

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二维零初值源响应为

608

二维核在圆盘内都有值，没有只在单一传播时间上抽样的δ，所以一般不能缩成三维那样的单个推迟时刻。要保留历史积分。

核对全章： 源项永远是“单位源响应 × 实际源强，再把允许的时空点加起来”。静态只积空间，动态还要处理时间；边界、初始位移、初速度分别有自己的入口。

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波速2，点源与观察点相距6，源强在发出时刻 $612$ 为 $613$ ，其余为0。观察点何时可能收到信号，幅度是多少？

展开解析

传播时间为3，所以接收区间为 $609$ 。幅度为 $610$ 。区间端点按信号阶跃的约定解释。不能把发出区间 $611$ 当成接收区间。

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同一源强 $619$ 从0时开始。两个观察点距源分别为 $620$ 与 $621$ 。它们在同一时刻看见的相位和幅度关系是什么？

展开解析

都已到达以后，两者分别取 $614$ 与 $615$ 。远点的幅度因子减半，并多延迟 $616$ ，相位差为 $617$ 。不能只比较 $618$ 而忽略推迟时间。